{VERSION 3 0 "IBM INTEL NT" "3.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 
0 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 8 4 0 0 0 
0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 2" 3 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 8 2 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Title" 0 
18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 12 
12 0 0 0 0 0 0 19 0 }}
{SECT 0 {SECT 0 {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Polinomi che approssiman
o una funzione f(x) continua su [a,b]" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" 
{TEXT -1 31 "Definizione di f(x) e di  [a,b]" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 
"" {MPLTEXT 1 0 24 "f:=x->exp(x);a:=-1;b:=1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 99 "Esempi possibili: x^(n+1) su [0,1], 1/x su [1,2], e^x s
u [-1,1], x*ln(x) su [0,1], sqrt(x) su [0,1]" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Norma \+
L1: " }{XPPEDIT 18 0 "int(abs(f(x)-p(x)),x = a .. b)" "6#-%$intG6$-%$a
bsG6#,&-%\"fG6#%\"xG\"\"\"-%\"pG6#F-!\"\"/F-;%\"aG%\"bG" }}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 226 "La procedura L1 prende in ingresso una f
unzione f(x), gli estremi a e b di un intervallo reale I, un numero na
turale n e fornisce in uscita il polinomio p(x) di grado (al pi\371) n
 che meglio approssima f(x) su I secondo la norma" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{XPPEDIT 18 0 "int(abs(f(x)-p(x)),x = a .. b);" "6#-%$intG6$-%$absG6#,
&-%\"fG6#%\"xG\"\"\"-%\"pG6#F-!\"\"/F-;%\"aG%\"bG" }}}{EXCHG {PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 119 "L1:=proc(n) local f1,lx,ly,k;\nlx:=[seq((a+
b)/2+(b-a)/2*cos(k*Pi/(n+2)),k=1..n+1)];\nly:=map(f,lx);\ninterp(lx,ly
,x);\nend:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "p1:=L1(2);" }
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "plot(\{f(x),p1\},x=a..b);
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "plot(\{f(x)-p1\},x=a..b
);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 
"" 0 "" {TEXT -1 10 "Norma L2: " }{XPPEDIT 18 0 "int((f(x)-p(x))^2,x =
 a .. b);" "6#-%$intG6$*$,&-%\"fG6#%\"xG\"\"\"-%\"pG6#F+!\"\"\"\"#/F+;
%\"aG%\"bG" }{TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 206 "Data una funzione f(x) continua su un in
tervallo I=[x1,x2] viene costruito il polinomio p(x) di grado n che ap
prossima f(x) su I secondo la norma dello spazio di Hilbert L2, cio
\350 il polinomio che minimizza " }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "int
((f(x)-p(x))^2,x = x1 .. x2);" "6#-%$intG6$*$,&-%\"fG6#%\"xG\"\"\"-%\"
pG6#F+!\"\"\"\"#/F+;%#x1G%#x2G" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 258 "L2:=proc(n) local p,g,k,eq,sistema,incognite,coef;\np:=sum(c[
k]*x^k,k=0..n);\ng:=int((f(x)-p)^2,x=a..b);\nfor k from 0 to n do eq[k
]:=diff(g,c[k]) od;\nsistema:=seq(eq[k],k=0..n);incognite:=seq(c[k],k=
0..n);\ncoef:=solve(\{sistema\},\{incognite\});\nsubs(coef,p);\nend:" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "p2:=L2(2);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "plot(\{f(x),p2\},x=a..b);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "plot(\{f(x)-p2\},x=a..b);" }
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 
"" {TEXT -1 50 "Minimi quadrati: confronto tra continuo e discreto" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(stats);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 131 "n:=200:xx:=[seq(k/n,k=0..n)]:yy:=m
ap(sqrt,xx):eq_fit:= sort(evalf(fit[leastsquare[[x,y], y=a2*x^2+a1*x+a
0, \{a2,a1,a0\}]]([xx,yy])));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 31 "plot(\{p2-op(2,eq_fit)\},x=a..b);" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" 
{TEXT -1 32 "Norma L2. I polinomi di Legendre" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 276 "Viene qui usata la teoria degli spazi vettoriali con p
rodotto scalare: i polinomi di grado minore o uguale a n costituiscono
 uno spazio vettoriale di dimensione n che \350 un sottospazio delle f
unzioni continue su [a,b]. Il prodotto scalare tra due funzioni f, g \+
\350 cos\354 definito:" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "int(f*g,x = a
 .. b);" "6#-%$intG6$*&%\"fG\"\"\"%\"gGF(/%\"xG;%\"aG%\"bG" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "La procedura leg(n) genera una base orton
ormale di polinomi di grado 0, 1, ..., n" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 168 "leg:=proc(k)\nif k=0 then 1/sqrt(b-a) else\nsqrt(2*k
+1)/(sqrt(b-a)*2^k)*sum((-1)^l*binomial(k,l)*binomial(2*(k-l),k)*(2/(b
-a)*(x-(a+b)/2))^(k-2*l),l=0..iquo(k,2)) fi;end:" }}}{EXCHG {PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 59 "La procedura scal2(f,g) definisce il prodotto scal
are di L2" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "scal2:=(f,g)->
int(f*g,x=a..b);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "La procedura
 LL2 calcola la proiezione ortogonale di f sul sottospazio generato da
i polinomi di Legendre" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 65 "L
L2:=proc(n) local j;\nsum(scal2(f(x),leg(j))*leg(j),j=0..n);\nend:" }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "pp2:=LL2(2);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "plot(\{f(x),pp2\},x=a..b);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "plot(\{f(x)-pp2\},x=a..b);" 
}}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 17 "Norma uniforme:  " }{XPPEDIT 
18 0 "max(abs(f(x)-p(x)))" "6#-%$maxG6#-%$absG6#,&-%\"fG6#%\"xG\"\"\"-
%\"pG6#F-!\"\"" }{TEXT -1 1 "\n" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 16 "with(numapprox):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 
"pINF:=expand(minimax(f(x), x=a..b,[2,0],1,'err'));" }}}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Se si vuole approssimare pINF allora nella defi
nizione di tscal usare Int anzich\351 int." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 25 "plot(\{f(x),pINF\},x=a..b);" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "
" 0 "" {TEXT -1 40 "Confronto tra le diverse approssimazioni" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "plot(\{f(x)-p1,f(x)-p2,f(x)-
pINF\},x=a..b);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 178 "Le funzioni n
orm1, norm2 e normINF misurano la distanza tra f(x) e i polinomi di ap
prossimazione secondo la norma L^1 (p1), secondo la norma L^2 (p2) e s
econdo la norma uniforme." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
43 "norm1:=(p)->evalf(Int(abs(f(x)-p),x=a..b));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "norm2:=(p)->evalf(sqrt(Int((f(x)-p)^2,x=a..b))
);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 182 "normINF:=proc(p) loc
al m1, m2, m3;\nm1:=maximize(abs(f(x)-evalf(p)),\{x\},\{x=evalf(a)..ev
alf(b)\});\nm2:=evalf(abs(f(b)-subs(x=b,p)));\nm3:=evalf(abs(f(a)-subs
(x=a,p)));\nmax(m1,m2,m3)\nend:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 210 "ERR:=matrix(3,3):ERR[1,1]:=norm1(p1):ERR[1,2]:=norm1(p2):ERR[
1,3]:=norm1(pINF):ERR[2,1]:=norm2(p1):ERR[2,2]:=norm2(p2):ERR[2,3]:=no
rm2(pINF):ERR[3,1]:=normINF(p1):ERR[3,2]:=normINF(p2):ERR[3,3]:=err:ev
alm(ERR);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}}}{MARK "
0 1" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }