TIInterActive File'Funzioni derivate e approssimazione locale di una funzione con una funzione quadratica (si prevedono circa 30 ore di lavoro in classe se si decide di eseguire tutte le attivit) Premessa Nel primo anno di corso hai visto che le funzioni che hai incontrato possono essere approssimate localmente da una funzione lineare. Hai intuito ed esplorato questa possibilit utilizzando i comandi di Zoom di TI-InterActive! che ti hanno mostrato (nel vero e proprio senso del termine) come dopo un opportuno numero di Zoom successivi il grafico delle funzioni che hai fino a ora incontrato assomigli sempre pi a una retta: la retta tangente alla funzione nel punto attorno al quale hai effettuato lo "Zoom In". Hai anche intuito che la funzione lineare che approssima localmente una funzione d informazioni sulla crescenza o decrescenza della funzione, ma non su come cresce o decresce, ossia sulla concavit del suo grafico: una retta, infatti non ha concavit; una funzione lineare non cresce o decresce sempre pi o sempre meno, ma in modo costante! Queste osservazioni suggeriscono che, se non si vogliono perdere informazioni su come cresce una funzione, sia necessario utilizzare una funzione almeno quadratica: tale funzione, infatti, cresce o decresce sempre pi o sempre meno; il suo grafico ha una concavit! Le attivit che seguono si propongono di a) aiutarti a comprendere meglio il significato di approssimazione locale di una funzione con funzioni pi semplici (lineari o quadratiche); b) fornire alcune tecniche per la determinazione delle formule di una funzione lineare e di una funzione quadratica che approssimino localmente alcune funzioni (in particolare funzioni polinomiali di terzo e quarto grado; pi in generale funzioni polinomiali). Crediamo che questo lavoro possa offrirti delle vere e proprie radici cognitive per comprendere questioni pi raffinate e delicate dal punto di vista formale che affronterai negli ultimi anni di scuola secondaria, soprattutto se seguirai un corso a indirizzo matematico - scientifico. Tecniche e concetti a cui queste attivit costituiscono un primo approccio, fanno parte di una delle costruzioni pi stupefacenti del pensiero umano: il calcolo infinitesimale, legato, nelle sue origini, ai nomi di Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz . Scheda 0 La "funzione delle pendenze". Considerazioni di carattere intuitivo, numerico e grafico (Attivit individuali e di gruppo. Tempo in classe: 4 ore) Attivit 1 (da svolgersi in piccoli gruppi, preferibilmente senza l'aiuto di strumenti di calcolo). Ricordate? Nel primo anno di corso abbiamo definito la pendenza di una retta come il rapporto fra la differenza delle ordinate e quella delle ascisse di due qualunque punti della retta. Abbiamo anche visto che, pur non potendo definire "una pendenza" di una curva, le funzioni che in genere abbiamo incontrato possono essere approssimate localmente (ossia vicino a ogni loro punto) con funzioni lineari allora possibile considerare, in ogni punto del grafico di queste funzioni, la pendenza della funzione lineare che meglio approssima, localmente, la funzione data. dato il seguente grafico di una funzione y = f(x):  Tracciate uno schizzo: a) del grafico della funzione pendenza, ossia della funzione y = p(x) che associa, a ogni x, il valore della pendenza della funzione lineare che meglio approssima la funzione f vicino a x (localmente); b) del grafico di una funzione y = h(x) che ha come funzione pendenza y = f(x) Giustificate le risposte fornite; in particolare, dopo aver concordato una risposta, riportate sul vostro foglio di lavoro le strategie seguite per effettuare il compito che vi stato proposto Le strategie che abbiamo concordato per rispondere al problema a) Le caratteristiche del grafico della funzione y=p(x) Giustificazione della risposta Le strategie che abbiamo concordato per rispondere al problema b) Le caratteristiche del grafico della funzione y=h(x) Giustificazione della risposta Attivit 2 (da svolgersi in piccoli gruppi, preferibilmente senza l'aiuto di strumenti di calcolo grafico o simbolico; invece consentito, se lo si ritiene utile, l'uso della calcolatrice numerica o del foglio di calcolo di TI-InterAtive!). data la seguente tabella che rappresenta una funzione y = f(x):  Tracciate uno schizzo del: a) grafico della funzione pendenza, ossia della funzione y = p(x) che associa, a ogni x, il valore della pendenza della funzione lineare che meglio approssima la funzione y = f(x) nel suo punto di ascissa x b) grafico di una funzione y = h(x) che ha come funzione pendenza y = f(x) Giustificate le risposte fornite e, dopo aver concordato una risposta, riportate sul vostro foglio di lavoro le strategie seguite per effettuare il compito che vi stato proposto. Le strategie che abbiamo concordato per rispondere al problema a) Le caratteristiche del grafico della funzione y=p(x) Giustificazione della risposta Le strategie che abbiamo concordato per rispondere al problema b) Le caratteristiche del grafico della funzione y=h(x) Giustificazione della risposta Attivit 3 (da svolgersi in piccoli gruppi, preferibilmente senza senza l'aiuto di strumenti di calcolo grafico o simbolico; invece consentito, se lo si ritiene utile, l'uso della calcolatrice numerica o del foglio di calcolo di TI-InterAtive!). Sono date due rappresentazioni della funzione y = f(x), una in forma tabulare  e una grafica:  Tracciate uno schizzo: a) del grafico della funzione pendenza, ossia della funzione y = p(x) che associa, a ogni x, il valore della pendenza della funzione lineare che meglio approssima la funzione y = f(x) nel suo punto di ascissa x b) del grafico di una funzione y = h(x) che ha come funzione pendenza y = f(x) Giustificate le risposte fornite e, dopo aver concordato una risposta, riportate sul vostro foglio di lavoro le strategie seguite per effettuare il compito che vi stato proposto. Le strategie che abbiamo concordato per rispondere al problema a) Le caratteristiche del grafico della funzione y=p(x) Giustificazione della risposta Le strategie che abbiamo concordato per rispondere al problema b) Le caratteristiche del grafico della funzione y=h(x) Giustificazione della risposta Scheda 1. Sulla funzione delle pendenze con Graphic Calculus. Attivit (da svolgersi in piccoli gruppi in laboratorio di informatica) Aprite Graphic Caluclus e selezionate il menu Graphic Calculus Plus e, quindi, Gradient. Scegliete come sistema di riferimento quello che riporta x in ascisse e y in ordinate. Digitate in formula 0.5*x^3 5*x^2 + 3 e scegliete come finestra grafica (agendo sulla terza icona del menu a icone) la finestra [-5; 15] X [-100; 100]. Nella parte destra dello schermo dovreste vedere due menu: gradient e gradient function. Selezionate Gradient function e lanciate lanimazione premendo sullicona verde che ha la forma di un bottone del tasto play di un videoregistratore (le icone blu vi consentono di variare la velocit dellanimazione: la prima funziona come il tasto pausa; la seconda vi consente di riprodurre a velocit normale e la terza a velocit maggiore). Licona rossa, accessibile quando lanimazione partita, vi consente di azzerare lanimazione. Descrivete che cosa osservate, in particolare precisate: a) che cosa rappresenta Dx e che cosa cambia quando si modifica il suo valore? b) Che cosa rappresenta la curva in rosso che viene tracciata? c) C qualche relazione tra questo grafico (la curva rossa) e quello della funzione di partenza? In caso affermativo, quale relazione lega i due grafici e quindi le due funzioni? Giustificate le vostre risposte. Le nostre risposte (con giustificazione) alle domande poste a) b) c) Potete dire qualcosa sullequazione della funzione di cui stato tracciato il grafico in rosso? Perch? La nostra risposta Tracciate il grafico di una funzione che ha come funzione pendenza quella il cui grafico uguale alla curva rossa; tracciate poi il grafico di una funzione che ha come funzione pendenza la funzione 0.5*x^3 5*x^2 + 3 . Le nostre risposte: a) le caratteristiche del grafico di una funzione che ha come funzione pendenza quella il cui grafico uguale alla curva rossa b) le caratteristiche del grafico di una funzione che ha come funzione pendenza la funzione 0.5*x^3 5*x^2 + 3 . Potete dire qualcosa sulla formula della funzione che ha come funzione pendenza la funzione 0.5*x^3 5*x^2 + 3 ? Giustificate le risposte. La nostra risposta Scheda 2. I grafici delle funzioni "pendenza" delle funzioni esponenziali (Attinvit da svolgere in laboratorio di informatica, in piccoli gruppi o a coppie, per circa 6 ore) 1. Se disponete di Cabri II o di Cabri II plus, aprite, cliccando sull'hotword, il file 2.7allax . Se non disponete di Cabri potete effettuare la stessa esploraizne cliccando sull'hotword 2.7allaxjava . In entrambi i casi vedrete, sullasse delle x il punto X e sullasse delle y il punto (2.7)x. Muovete il punto X sullasse delle x e osservate che cosa accade al punto (2.7)x sullasse y (ossia osservate come (2.7)x varia al variare di x). Cambiate anche lunit di misura sullasse delle y per nelle vostre esplorazioni. Se siete in Cabri potete anche effettuare un'esplorazione pi ricca. Per esempio, dopo qualche prova effettuata manualmente, passate alle animazioni. Spostate il punto X verso la sinistra del vostro foglio di lavoro, fino ad arrivare quasi allestremo del campo di variazione delle x negative, e poi animate con una molla (comando "animazioni" del penultimo bottone del menu a icone) il punto X in modo che si muova da sinistra verso destra. Scambiatevi tutte le osservazioni che ritenete interessanti sul movimento coordinato dei due punti e tenete traccia (sintetica, ma comprensibile) della vostra discussione sul protocollo che vi stato consegnato. L 'YPZ[PPPPP P  @P aPj =P @P @P @PL @PM +@Px @Py @P| @P} @P~ @P ]@P @P @P @P @P @P @P @P T@PN @PO @PZ @P\ -@P @P @P @P @P @P !@P @P @P @P @P @P @P @P @PBP@P6P@P P#@P)BPk@Pq^P,@P@P@P@P@P@P@P@P W@Pa@Pb@Pe@Pf@Pg@Ph@P~@PT@P@P@P@P@P@P@P@P@P@P@P@P@P@P!@P:@P;@P>@P?@P@@PA@PFP@PBPB@PH6P~@P P@PBP@P^PO5@P@P@P@P@P@P@P@PY@P@P@P@P@P@P@P.@P/T@P@P@P@P@P@P@P@P"@P@P@P@P@P@P-@P@P@P@P@P@P@P@P@PBP@P 6P?@PD Pd@PjBP@PYP  @P@P@PX@P8@P9@PG@PH@P<@P @P<@Pv@Pa@PbL@P=P@PP@P Pr@PoP@PP @PQ @Pk P^!P_!Pz!@P"P"@P ."KPy"P z"@P{"@P:#B#C#[@P# ##/@P#@P#@P#@P#@P $2@P $%@P/$@P0$+@P[$2@P\$ @Pg$@Ph$@P$2@P$@P$@P$4@P$@P$ @P$@P$@P &@P&v@Pp"Arial"Arial"Arial"ArialTimes New Roman"Arial8Times New RomanSymbol"Arial8Times New RomanYZ&'PQ      j k k l        K L L M     i j    ~#$$%%&&''(()jkkllmmnnooppq    %&CDDEEFFGGHABBCCDDEEFFGGH}~~%&&''(())**++,,--..//0OPPQRSSTTUUVVWWXXYYZZ[[\STUV >??@@AABBCCDdeeffgghhiij     WXXYHImnnof g g h h i i j j k ~    !!!!!u!v!v!w!x!y!y!z!z!{!""""""""""""""" 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Se, invece, non disponete di Cabri potete effettuare un'esplorazione simile cliccando sull'hotword aallaxjava . In entrambi i casi, vedrete un punto X sullasse delle x, un punto a^x sullasse delle y, un punto P di coordinate (x, ax) che, quindi, descrive, al variare di x, il grafico della funzione y = ax e, infine, una semiretta sulla quale situato un punto A la cui ascissa rappresenta la base dellesponenziale ax . Questo vuol dire che, variando la posizione di a, si possono ottenere esponenziali di base diversa (tutte maggiori di zero: per questa scelta c un motivo ben preciso del quale potreste discutere in classe con il vostro o la vostra insegnante). Quindi, muovendo il punto A variate la base dellesponenziale. Muovendo, invece, il punto P percorrete il grafico di una funzione esponenziale di base fissata. Fate qualche esplorazione, scambiatevi eventuali impressioni (c qualcosa che non chiaro, che non vi aspettavate o che, invece, vi chiaro e vi aspettavate?) Riportate qui di seguito traccia sintetica della vostra esplorazione. Le nostre considerazioni 4. Se disponete di Cabri II plus, aprite, cliccando sull'hotword, il file di Cabri II plus expplus . Se non disponete di Cabri II plus, ma di Cabri II, aprite, cliccando sull'hotword, il file di Cabri II expcabriII . Se non diponete di Cabri, cliccate sull'hotword expcabrijava . In tutti casi, osservate attentamente la figura: notate che ci sono solo alcuni punti che potete muovere (P, Dx che, nei file in cabri II e cabrijava indicato con h, e a); notate anche che i segmenti PH e Dx (h, per i file in cabriII e cbrijava) hanno la stessa lunghezza (sono stati costruiti in modo tale da avere la stessa lunghezza). Descrivete brevemente la figura, muovendo prima P, poi Dx (o h), poi a; dovreste cercare di fare qualche congettura su che cosa vi consente di osservare il movimento dei punti che sono trascinabili, prima discutendone fra di voi e poi trascrivendo una sintetica traccia qui di seguito. Le nostre conclusioni 5. Soffermatevi in particolare su che cosa accade quando Dx (h, per i file in CabriII e Cabrijava) tende a zero questa richiesta vi suggerisce altre osservazioni oltre a quelle di cui avete gi discusso e che avete riportato sul foglio protocollo? Perch? Eventuali ulteriori considerazioni 6. Prendete in considerazione il seguente foglio elettronico nel quale sono riportate, a partire dalla prima colonna a sinistra: a) il valore x in cui si vuole calcolare la pendenza della retta tangente al grafico della funzione f(x) = a^x (nel foglio abbiamo scelto x= 0, ma voi potete cambiare valore per trovare la pendenza della retta tangente in altri punti (x, y) con y = f(x); b) il valore x+h c) l'incremento h d) la base a dell'esponenziale (ricorda che deve essere positiva!) e) il rapporto incrementale (f(x+h)-f(x))/h, ossia (a^(x+h)-a^x)/h  Che cosa notate osservando il foglio? La nostra risposta Eventuali cambiamenti nella nostra risposta dopo il confronto con le risposte dei nostri compagni Soffermatevi sulla notazione f(x+h): si tratta di un punto molto importante e delicato. La scrittura f(x+h) indica che la legge che caratterizza la funzione considerata deve applicarsi all'argomento (x+h). In altre parole la legge f opera sull'input (x+h) restituendo f(x+h). Per esempio, se f(x) = x^2, allora f(x+h) = (x+h)^2; se f(x)= a^x, allora f(x+h)= a^(x+h) 7. Assegnata f(x) = 2^x, calcolate f(2+h) f(2-h) f(x+h) f(f(x)) f(f(x+2)) f(f(3+h)) f(f(x+h)) Le nostre risposte: Eventuali problemi nel comprendere il significato della scrittura f(x+h): 8. Riprendete ora in esame il foglio elettronico di prima ed effettuate alcune esplorazioni cambiando la base, per esempio scegliendo come base 3 invece di 2. Che cosa notate osservando il foglio? La nostra risposta Eventuali cambiamenti nella nostra risposta dopo il confronto con le risposte dei nostri compagni 9. Se la pendenza al grafico d 2^x in x = 0 minore di 1 e la pendenza di 3^x in x= 0 maggiore di 1, ci sar una funzione esponenziale che ha pendenza 1 in x= 0? Provate a determinarla per tentativi e poi verificate, con le potenzialit che vi offre il foglio elettronico, che tale funzione ha una caratteristica particolare: se prendete un punto x, la pendenza in x proprio uguale a f(x). La nostra risposta e il foglio elettronico che consente di verificare quanto affermato: 10. Cercate ora di studiare come varia, al variare di x, la pendenza della funzione lineare che meglio approssima, vicino a x, la funzione y = ax . Come abbiamo gi qualche volta detto, ci equivale a chiedersi come varia, al variare di x, la pendenza della retta tangente al grafico della funzione y = ax nel punto di ascissa x. Vi chiediamo di discutere brevemente di quelle che ritenete siano le caratteristiche del grafico della funzione p = p(x) dove p la pendenza della retta tangente al grafico di y = ax nel punto di ascissa x. Vi stiamo chiedendo di dire come varia, al variare di x, la pendenza della retta tangente al grafico di y = ax nel punto di ascissa x. Poteet aiutarvi, per rispondere, con gli strumenti di calcolo che preferite, oltre che con i file di Cabri o Cabrijava gi esplorati. Dopo aver discusso, argomentando le vostre opinioni, passate alla trascrizione sintetica delle caratteristiche del grafico di p = p(x), tracciandone anche uno schizzo su un foglio. Le nostre conclusioni (motivate) sulle caratteristiche del grafico di p=p(x) 11. Confrontate le vostre precedenti conclusioni utilizzando il file pendenza esponenziale . Potete esplorare la situazione variando h e a. La curva in blu rappresenta l'esponenziale a^x, mentre la curva in rosso rappresenta un'approssimazione del grafico della pendenza dell'esponenziale a^x, tanto migliore quanto pi h piccolo. Sulla parte bassa del foglio si trovano una retta sulla quale stato messo un punto la cui ascissa rappresenta l'incremento h e una semiretta che consente di variare la base a dell'esponenziale. La curva in blu stata ottenuta con le seguenti operazioni: a) si calcolato, con la calcolatrice di Cabri, il valore a^x b) si riportato sull'asse delle y il valore di a^x c) si fatto tracciare a Cabri il luogo del punto di coordinate (x; a^x) al variare di x. La curva La curva in rosso stata ottenuta con le seguenti operazioni: a) si calcolato, con la calcolatrice di Cabri, il valore (a^(x+h)-a^x)/h; b) si riportato sull'asse delle y il valore di (a^(x+h)-a^x)/h c) si fatto tracciare a Cabri il luogo del punto di coordinate (x; (a^(x+h)-a^x)/h) al variare di x. Nota che in alto a destra del file compare la scritta: f '(x) = (f(x+h)-f(x))/h che cosa rappresenta il rapporto (f(x+h)-f(x))/h ? vero che quanto pi h piccolo, tanto meglio questo rapporto approssima la pendenza della tangente al grafico di f(x) = a^x nel punto di ascissa x? Perch? Perch quando h 0 la curva rossa scompare e Cabri dice che il rapporto (f(x+h)-f(x))/h inesistente? Le nostre risposte Il confronto con quelle di altri gruppi 12. Verificate aiutandovi ora, aiutandovi con file in Cabrijava precedente, che possibile individuare una base a dell'esponenziale a^x la cui funzione pendenza uguale alla stessa funzione a^x . Confrontate le vostre risposte con quelle di altri gruppi di lavoro. Le nostre risposte Il confronto con quelle di altri gruppi Considerazioni conclusive su questa scheda dopo l'eventuale sistemazione dell'insegnante Scheda 3. Come possibile determinare la formula della funzione lineare che approssima localmente una funzione data? (Attivit individuali e di gruppo. Tempo da dedicare in classe: 4 ore) 1. (In gruppo). Come possibile avere unidea della pendenza della funzione lineare che approssima una funzione vicino a un punto? Provate a pensare di dover scrivere una procedura che consenta, data una funzione e un punto (vicino al quale tale funzione approssimabile con una funzione lineare), di determinare la pendenza di tale funzione lineare e, in seguito, di calcolarne la formula. La nostra risposta Se avete difficolt nel formulare la risposta, o avete forti dubbi raletivamente a quanto avete scritto, potete aiutarvi leggendo il seguito di questa scheda. Consideriamo, per esempio, la funzione f(x) = x^3 e cerchiamo: a) la pendenza della funzione lineare che approssima f(x) in x=1 b) la formula di tale funzioni lineare, ossia di quellafunzione che ha come grafico la retta tangente nel punto (1; 1) al grafico della funzione f(x)=x^3. Per risolvere il problema a) effettuiamo le seguenti operazioni: a1) spostiamoci da x=1 di un incremento h, raggiungendo il punto 1+h e calcoliamo la pendenza della secante al grafico della funzione f(x)=x^3 passante per i punti (1; 1) e (1+h; f(1+h)), semplificando il pi possibile tale espressione; a2) facciamo tendere h a 0, in modo da ottenere la pendenza della tangente. Per effetuare le operazioni descritte in a1) iniziamo a definire in TI-InterActive! la funzione f(x)=x^3. Ci pu essere effettuato mediante il comando "define" (il comando "define" ha la seguente sintassi: define (nome_funzione = espressione)).  Facciamo calcolare a TI-InterActive! il rapporto incrementale che d la pendenza della secante al grafico della funzione f(x)=x^3 passante per i punti (1; 1) e (1+h; f(1+h)):  Notate che TI-InterActive! restituisce la pendenza della secante gi semplificata. Calcolandola a mano" avrese dovuto effettuare i seguenti passaggi: f(1+h)= (1+h)^3 = 1 + 3h^2 + 3h + h^3 f(1) = 1 f(1+h) - f(1) = h^3+3h^2+3h (f(1+h) - f(1)) / h = h^2 + 3 h + 3 che l'espressione fornita da TI- InterActive! Se la pendenza della secante h^2+3h+3, quanto sar quella della tangente? L'idea far tendere h a zero, poich sappiamo che qanto pi piccolo h, tanto meglio la retta secante tender ad approssimare la tangente. Provate a vedere a quanto tende l'espressione h^2+3h+3 quando h tende a 0, utilizzandoi il seguente foglio elettronico:  Come prevedibile, se h tende a 0, l'espressione h^2+3h+3 tende a 3. Quindi possiamo assumere uguale a 3 la pendenza della funzione lineare che meglio approssima f(x) = x^3 in x = 1, ossia la funzione lineare che ha come grafico la retta tangente in x = 1 al grafico della funzione f(x) = x^3. Avreste potuto ragionare anche in un altro modo: avreste potuto determinare la pendenza della funzione lineare che meglio approssima f(x)=x^3 in un generico valore x e poi avreste potuto sostituire a x il valore 1, ottenendo la pendenza cercata. Allo scopo possiamo definire in TI-InterActive! la funzione che rappresenta la pendenza della secante al grafico della funzione y=f(x) nei punti (x, f(x)) e (x+h, f(x+h)).  Notate che abbiamo chiamato la funzione g(x,h), perch essa dipende sia dal punto x, sia dall'incremento h. Chiediamo ora al manipolatore simbolico di TI - InterActive! di semplificare la scrittura della pendenza della secante.  Come potete vedere, la pendenza della secante dipende sia da x che da h. Questo normale o vi sorprende? Perch? La nostra risposta Notate che una volta definita la funzione "pendenza della secanate" , ossia g(x,h), basta cambiare la definizione della funzione f per determinare, chiedendo di semplificare g(x), le pendenze delle secanti ai grafici delle funzioni f(x) nei punti (x,f(x)) e (x+h, f(x+h)), come suggerisce il seguente esempio:   Come vedete, anche in questo caso, la pendenza della secante dipende da x e da h. Si tratta di un fatto generale? Perch? La nostra risposta Secondo voi, la pendenza della tangente al grafico della funzione y=f(x) nel punto di ascissa x, o, se volete, la pendenza della funzione lineare che meglio approssima la funzione f(x) vicino a x, dipende da h? Perch? Giustificate la risposta. La nostra risposta Dovreste avere risposto che la pendenza della tangente non deve dipendere da h. Infatti essa si ottiene facendo tendere h a 0 o anche definendo la seguente funzione che d la pendenza sia delle secanti (passanti per i punti (x; f(x)) e (x+h; f(x+h)), sia della tangente (nel punto x; f(x)) al grafico della funzione f(x) = x^3.  Dovreste ora essere in grado di completare la risposta alla domanda che vi avevamo posto, scrivendo una procedura che consenta, data una funzione e un punto vicino al quale tale funzione approssimabile con una funzione lineare, di determinare la pendenza di tale funzione lineare e, in seguito, di calcolarne la formula. La nostra risposta 2. (Individuale, a casa). Inventa una decina di esercizi di calcolo della pendenza della retta tangente in un punto a una funzione ed eseguili aiutandoti con TI-InterActive! quando i calcoli diventano troppo complessi. Considera sempre funzioni polinomiali La mia risposta 3. ( Nel piccolo gruppo di lavoro, a scuola) Confrontate gli esercizi che avete inventato. Siete in grado di risolvere quelli proposti dai vostri compagni? In caso di risposta negativa, perch? In che cosa differiscono da quelli che avete inventato voi? La risposta del gruppo Scheda 4. La dialettica "locale - globale" nello studio delle grandezze che variano: la derivata e la funzione derivata (Attivit di sistemazione dell'insegnante mediante disussione matematica alla presenza di tutta la classe. La scheda seguente un riassunto della sistemazione e contiene alcune domande alle quali bisogna rispondere individualmente. Tempo da dedicare in classe: 6 ore) Nelle precedenti attivit avete lavorato sul problema della "pendenza" del grafico di una funzione non lineare da due punti di vista: a) la determinazione della pendenza in un punto, ossia della pendenza della retta tangente al grafico della funzione in quel punto (o, se preferite, la determinazione della pendenza della funzione lineare che meglio approssima localmente la funziona data); b) la determinazione della formula della funzione che associa, a ogni x, la pendenza della retta tangente al grafico della funzione y=f(x) nel punto (x, f(x)). Nel primo caso avete assunto una prospettiva locale del problema della "pendenza": vi siete concentrati su che cosa accade nel punto (x,f(x)); nel secondo caso avete assunto una prospettiva globale: vi siete interessati a come la pendenza varia al variare di x. Parleremo di "derivata in x" ("gradient" in Graphic Calculus) nel primo caso e di " funzione derivata di f " ("gradient function" in Graphic Calculus) nel secondo caso. La derivata in un punto di ascissa x0 quindi la pendenza della funzione lineare che meglio approssima la funzione y = f(x) vicino a x0; quindi si tratta di un numero! Geometricamente, si interpreta come la pendenza della retta tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto (x0, f(x0)). In simboli, per indicare la derivata in x0, scriveremo f'(x0). f'(x0) d informazioni locali (vicino a x0) sulla crescenza o decrescenza di f. La funzione derivata di y = f(x) invece la funzione che regola, al variare di x, la variazione delle pendenze delle funzioni lineari che meglio approssimano la funzione y = f(x) vicino a x. Si tratta quindi di una vera e propria funzione! In simboli, per indicare la funzione derivata, scriveremo f'(x). L'apice che compare sia in f'(x0) che in f'(x) indica che si tratta di "derivata prima". Infatti, come puoi immaginare, l'operazione pu continuare, calcolando la derivata della derivata, ossia la derivata seconda (in simboli f''(x)). Ritorneremo pi avanti sulla derivata seconda di una funzione y = f(x) e sulle infomazioni che offre relativamentealla funzione f. Nelle precedenti schede hai anche appreso una tecnica di calcolo per f'(x). Cerchiamo di precisare su quali idee si basa questa tecnica. Possiamo fondare tutto sul fatto che ci chiediamo la pendenza della retta tangente al grafico della funzione y=f(x) nel generico punto (x; f(x)). Poich abbiamo visto che, per determinare una pendenza sono necessari due punti di diversa ascissa, ci spostiamo, sull'asse delle x, a partire da x, di h, raggiungendo l'ascissa x+h. Sul grafico quindi individuiamo un nuovo punto (x+h; f(x+h)); la secante al grafico di y = f(x) passante per i due punti (x; f(x)) e (x+h, f(x+h)), se ha diviene via via pi piccolo, tende ad assomigliare sempre pi alla retta tangente alla grafico della funzione y=f(x) nel punto (x; f(x)), come suggerito dalla seguente figura in cabrijava che si pu esplorare cliccando sull'hotword derivata (nel file rappresentata una funzione di terzo grado che pu essere modificata agendo sui coefficienti a,b,c,d; l'esplorazione pi significativa, per, consiste nel vedere che cosa accade quando h tende a 0 ed, eventualmente, ripetere la stessa esplorazione per differenti ascisse x). % @PPI@Pb@Pc@Pk2@Pl@P^@P_@Pg2@Ph@PjPb@Pe@PR \]:@P@P@P@P@P@P@P@P2@P'@P@P@P@P@P"@P#2@P$@P%o@P@P2@P2@P@PP@PP2f@Pj@P  4@PI U Vm@P@P@P@P7@P@P@P@P$@P(@P)@P@P@P@P@P@P@P P @@P# @P$ @P' @P( @P $P @P @P V@P @P @P @P @P @P @P @P |@P @P @P @P @P @P @P @P @P @P @P @P @P @P @P @P @P @P [@P% @P& N@Pt P @P bP @P@P@PP@PJP-@PP@PbP{h@P@P@P@P@P @P @P @P @PWPiA@P@PF@P@P@P@P@P@P2@P\@Pb@Pc=@P@P@P@P2@P@P@Pr@P/@P0@P3@P4@P5@P6@P=@P>2@Pp@Pq@Pt@Pu2@Pv2@Pw@P@P8@P@P1@P@P@P@P2@P@P@P@P@P@P @P!@P"@P#1@PTFPPPPPPPP@P  *@P1@P2@P5@P6-@Pc@Pd@Pe@Pfg@P@P@P@P@P@P@Pv@Px0@P@P@P5@P7@P8@P9"@P[@P\@Pj@PmD@P@P@P@P@P@P@P@P@P]@P^"@P@Pb@P@P!@P@P5@P=@P>[@PP@P'Pw@PR@PS@Pf@Pg@Ph@Pi8@P@P@P@PI@PP@PPxP P KPQ @P!P!@P'@P'@P'@P'@P-P-@Pp/P/@P0P0@P0P0@P93PM3@P\4Pk4 @Pv5P5@P5P5yP'6P7;P8;bP;P;P0<P1<P6<P7<-Pd<Pe<@P<P<%PB B BP"Arial"Arial"ArialSymbol"Arial !!"hiij_`/0123445566778899::;;<WXXY                                       D E E F F G G H H I J K K L q r r s s t                    BCghhi,--..//0011223344556z{|}}~~)*jkkllmmnnooppqqrrsstRSST89no]^  Z[+,,--../    M N O P !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!""""######$$1%2%'&(&*&+&&&&&&&&&t'u'''''''''((((((g)h)i)j)j)k)))****++ , ,,,7,8,9,:,;,<,,,- - -!-"-#-#-$-$-%---------------------------..........j/k/k/l/l/m/m/n/n/o/o/p/////////////////0000000000000000000000000000000000000011111111114353637373838393K3L3L3M3M3N3N3O3O3P3P3Q3Q3R3R3S3S3T3T3U3U3V3V3W3W3X3X3Y3Y3Z3Z4[4[4\4k4l4l4m4m4n4n4o4o4p4p4q4q4r4r4s4s4t4t4u4t5u5u5v555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555'6(64757576767777788]9^9^9_9d:e:e:f:;;;;;;:<;<{<|<<<<<==>>>>>>s?t?u?v???CCCdL  \ l0!#d p@ P !$`'dL  \ l0!# I@;7 CTxobjItem6ࡱ> A  !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@Root Entry8l.K+G@[B@Contents|OlePres000 l6U M HS`SxSS"22General{{ ?=X1TI Math1Arial1Arial1Arial1Arial1Arial1TI Math""\ #,##0;\-""\ #,##0""\ #,##0;[Red]\-""\ #,##0 ""\ #,##0.00;\-""\ #,##0.00%"""\ #,##0.00;[Red]\-""\ #,##0.001*._-""\ * #,##0;\-""\ * #,##0;_-""\ * "-";_-@)* #,##0;* \-#,##0;* "-";@9,6_-""\ * #,##0.00;\-""\ * #,##0.00;_-""\ * "-"??;_-@$+!* #,##0.00;* \-#,##0.00;* "-"??;@\$#,##0_);\(\$#,##0\)\$#,##0_);[Red]\(\$#,##0\)\$#,##0.00_);\(\$#,##0.00\)# \$#,##0.00_);[Red]\(\$#,##0.00\)@ #.000000000                     X X # " @ List Matrix Spreadsheet   dMbP?_*+%'&APage &P&?'?(?)?"d??1listname formula10/.-,+*)('&%$#"!       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Questo vuol dire che, variando la posizione di a, si possono ottenere esponenziali di base diversa (tutte maggiori di zero: per questa scelta c un motivo ben preciso del quale potreste discutere in classe con il vostro o la vostra insegnante). Quindi, muovendo il punto A variate la base dellesponenziale. Muovendo, invece, il punto P percorrete il grafico di una funzione esponenziale di base fissata. Fate qualche esplorazione, scambiatevi eventuali i;*5;M@dd 33 CTxobjItem1I3ࡱ>  Root EntryZn@3[@ContentsI)OlePres000\z 7af 64 64 1 1 1 0 ffff0007 b0002 796c4743 74536870 88656c79 ffffff 0 0 90000000 1 7010000 54000000 73656d69 77654e20 6d6f5220 6e61 0 0 0 0 ff00ff00 7800ffff 64000000 8000000 6e617453 64726164 0 1 80010006 ffffff88 0 0 0 190 1000000 7 626d7953 6c6f 0 0 0 0 0 0 ff0000 ffffff 78 64 64745309 626d7953 16c6f 10000 0 8001 0 0 0 2bc0000 0 70100 79530000 6c6f626d 0 0 0 0 0 0 0 ffff00ff 7800ff 640000 530d0000 79536474 6c6f626d 646c6f42 1 1 80010000 ffffff88 0 0 0 190 1000001 7 656d6954 654e2073 6f522077 6e616d 0 0 0 0 ff0000 ffffff 78 64 64745309 6c617449 16369 10000 0 8001 0 0 0 2bc0000 10000 70100 69540000 2073656d 2077654e 616d6f52 6e 0 0 0 0 ffff00ff 7800ff 640000 530d0000 74496474 63696c61 646c6f42 1 1 80010000 0 0 0 0 190 1000000 7 4d204954 687461 0 0 0 0 0 0 ff0000 ffffff 78 64 64745305 14954 10000 0 8001 0 0 0 2bc0000 0 70100 49540000 74614d20 68 0 0 0 0 0 0 ffff00ff 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100 100 0 6800 0 0 18 80310000 1 8f ffffffff 0 1ffff 10000 0 0 0 0 80330018 0 0 0 0 10001 0 0 31290000 80 0 0 0 1ffff00 0 0 0 0 0 1800 ac000000 ad00b300 2e801e00 69000000 53000000 0 ff000000 ff 100 0 b000100 80 0 0 0 ffff00 1000000 0 4000000 802100 0 0 0 1000000 100 0 0 80092800 2e 69 53 0 ffff 10000 0 10000 2e800b 69NANIx = 1, ossia la funzione lineare che ha come grafico la retta tangente in x = 1 al grafico della funzione f(x) = x^3. Avreste potuto ragionare anche in un altro modo: avreste potuto determinare la pendenza della funzione lineare che meglio approssima f(x)=x^3 in un generico valore x e poi avreste potuto sostituire a x il valore 1, ottenendo la pendenza cercata. Allo scopo possiamo definire in TI-InterActive! la funzione che rappresenta la pendenza della secante al grafico della 0000 530000 0 ffff0000 0 1 0 80400002 2d 69 53 0 ffff 10000 0 10000 2d800b 690000 530000 0 ffff0000 0 1 0 80100001 2d 69 53 0 1ffff 10000 0 320000 0 0 1800 31000000 180 6900 ffffff00 ff 1ffff00 1000000 0 0 0 0 33001800 80 0 0 0 1000100 0 0 29000000 8031 0 0 0 ffff0000 1 0 0 0 0 180000 0 be00b7 b8 0 18031 b10000 ffff0000 ffff ffff0000 1 1 0 0 0 180000 0 10000 30c0000 80310000 1 180 ffffffff 0 1ffff 10000 0 0 0 0 430018 430000 430000 430000 0 82f0000 1800000 ffff0000 ffffffff ffffffff 1 1 0 0 0 1 0 3 454d4305 25453 8000 3000000551 64 64 1 1 1 0 ffff0007 b0002 796c4743 74536870 88656c79 ffffff 0 0 90000000 1 7010000 54000000 73656d69 77654e20 6d6f5220 6e61 0 0 0 ff000000 ff000000 7800ffff 64000000 8000000 6e617453 64726164 0 1 80010006 0 0 0 0 190 1000000 7 626d7953 6c6f 0 0 0 0 0 0 ff ffffff 78 64 64745309 626d7953 16c6f 10000 0 8001 0 0 0 2bc0000 0 70100 79530000 6c6f626d 0 0 0 0 0 0 ff0000 ffff0000 7800ff 640000 530d0000 79536474 6c6f626d 646c6f42 1 1 80010000 0 0 0 0 190 1000001 7 656d6954 654e2073 6f522077 6e616d 0 0 0 0 ff ffffff 78 64 64745309 6c617449 16369 10000 0 8001 0 0 0 2bc0000 10000 70100 69540000 2073656d 2077654e 616d6f52 6e 0 0 0 ff0000 ffff0000 7800ff 640000 530d0000 74496474 63696c61 646c6f42 1 1 80010000 0 0 0 0 190 1000000 7 4d204954 687461 0 0 0 0 0 0 ff ffffff 78 64 64745305 14954 10000 0 8001 0 0 0 2bc0000 0 70100 49540000 74614d20 68 0 0 0 0 0 ff0000 ffff0000 7800ff 640000 53090000 49546474 646c6f42 1 1 30000 50004 70006 2360008 cb0000 710000 0 0 0 1 0 1ffff 4743000a 6870796c 4854414d 146 8f 71 0 ffff 10000 0 10000 1ffff 4743000a 6870796c 574f524d 146 8f 71 0 ffff 10000 0 20000 1ffff 47430008 6870796c 145534d 8f0000 710000 0 ffff0000 0 1 0 800b0001 145 8f 71 0 ffff 10000 0 60000 1ffff 4743000a 6870796c 72616843 26 8f 71 0 1ffff 10000 0 10220000 5380 8f00 7100 0 1ffff00 1000000 0 44000000 3c8010 8f0000 710000 0 ffff0000 1 1 0 3580106f 8f000000 71000000 0 ff000000 1ff 100 0 80106e00 35 8f 71 0 1ffff 10000 0 10650000 2680 8f00 7100 0 1ffff00 1000000 0 22000000 0 0 ffff0000 140001 796c4743 69536870 656c706d 706d6f43 7265736f 0 0 1158 976 0 1ffff 4743000a 6870796c 6d726554 1 8f ffffffff 0 1ffff 10000 0 0 0 0 60018 60000 60000 60000 0 2360000 cb0000 ffff0000 ffffffff ffffffff 1 1 0 0 0 1 0 3 454d4305 25453 de028000 20 10000'33 10001 0 0 0 0 3601 0 10000 0 0 0 0 0d@@?Define p(x, h)= when(h=0,3*(x)^(2),3*(x)^(2) + 3*h*x + (h)^(2))Times New Roman "Done"Times New Roman  ??3http://www.matematica.it/paola/Cabriweb/aallax.fig3http://www.matematica.it/paola/Cabriweb/aallax.htm0http://www.matematica.it/paola/Cabriweb/exp.fig6http://www.matematica.it/paola/Cabriweb/expcabri2.fig 6http://www.matematica.it/paola/Cabriweb/expcabri2.htm 8http://www.matematica.it/paola/Cabriweb/exppendcab2.htm 5http://www.matematica.it/paola/Cabriweb/derivata.htmArialArialArialSymbolArial>7 1. Perch, nel file, se h esattamente 0, scompare la retta secante? La mia risposta Quanto ora osservato anche attraverso l'ultima esplorazione proposta, suggerisce che il problema della determinazione della derivata di y= f(x), ossia di f'(x) pu risolversi nei due seguenti passi: a) scrivere la pendenza della secante al grafico di y=f(x) nei punti (x; f(x)) e (x+h;f(x+h)), ossia scrivere l'espressione ; b) semplificare l'epressione scritta in a) in modo tale da poter dividere per h scompaia sia il numeratore, sia il denominatore e quindi calcolare la pendenza della secante, che dipende sia da x che da h; c) porre h= 0 in modo da calcolare la pendenza della tangente al grafico di y=f(x) (che non dipende da h). Naturalmente non detto che il calcolo in b) sia alla tua portata; lo , per, almeno per funzioni polinomiali di grado non elevato. 2. (Individuale) Calcola la pendenza delle tangenti (in x = 3; in x = - 2; in x = - 0.5) al grafico della funzione f(x) = x^ 3 - 2x La mia risposta La strategia di calcolo per f'(x), ossia per la funzione derivata, consente quindi di determinare la derivata per un qualunque specifico valore x0. Ci, di conseguenza, consente di esprimere la formula della funzione lineare che meglio approssima f(x) vicino a x0. Infatti: a) Trattandosi di una funzione lineare, sar espressa da una formula del tipo: y = p * x + n; b) dovr essere tale che f(x0) = p x0 + n, ossia n = f(x0) - p * x0 (infatti il punto (x0; f(x0)) dovr appartenere alla funzione lineare, se si vuole che questa approssimi f(x) vicino a x0); c) infine la pendenza della funzione lineare sar uguale a f'(x0) (infatti il grafico delle funzione lineare quello della retta tangente al grafico di y=f(x) nel punto (x0; f(x0)) quanto detto sopra implica che la formula della funzione lineare che meglio approssima y = f(x) vicino a x0 (localmente) : y = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) 3. Ricava, a partire dalle considerazioni a), b) e c) precedenti la formula: y = f(x0) + f'(x0) * (x - x0) La mia risposta Cerchiamo ora di precisare meglio la relazione tra la crescenza o decrescenza della funzione y = f(x) e il segno della sua funzione derivata y = f'(x). Infatti, se, come abbiamo detto, f'(x) la pendenza della retta tangente al grafico della funzione nel punto (x, f(x)), dire che f'(x) positivo, equivale a dire che la funzione sta crescendo vicino a x; dire che f'(x) positivo in un intervallo, equivale a dire che la funzione sta crescendo in quell'intervallo. Viceversa, dire che f'(x) negativa in un intervallo equivale a dire che la funzione y= f(x) sta decrescendo in quell'intervallo. Ovvaimente, se f'(x) = 0, allora in x c' un punto a tangente orizzontale o, come si dice anche, un punto stazionario. Ecco quindi che la conoscenza del segno della derivata di una funzione d informazioni sulla crescenza o decrescenza della funzione (ci dice se cresce o decresce, anche se non come cresce o come decresce). Abbiamo fino a ora parlato di approssimazione locale di una funzione y = f(x) con una funzione lineare, affermando che il grafico di tale funzione quello della retta tangente alla funzione y = f(x) nel punto considerato. Ci vuol dire che qualunque altra funzione lineare che passa per il punto considerato, ma il cui grafico differisce dalla retta tangente nel punto, un'approssimazione meno buona ... tutto ci va bene, ma attenzione a non confondere questo discorso che in una prospettiva locale ("vicino al punto considerato"; "la retta tangente nel punto") con un discorso che potrebbe riguardare l'approssimazione di una funzione in un intervallo (prospettiva globale). Non possiamo andare, per ora, al di l di questa osservazione, ma il concetto vi dovrebbe essere abbastanza chiaro, soprattutto se farete qualche esplorazione con il file di cabriIIplus al quale potete accedere cliccando sull'hotword approssimazione (Se non avete Cabri II plus non effettuate l'esercitazione e non rispondete alle due domande che seguono). La nostra risposta (motivata) alle domande poste nell'esercitazione La nostra risposta dopo il confronto con altri gruppi di lavoro Un altro modo per convincersi che, dato un intervallo I del tipo [x0-r; x0+r], la funzione lineare che approssima meglio la funzione f(x) in I non , in generale la funzione espressa con l'equazione y = f'(x0)(x-x0) + f(x0) il seguente: a) si prendono un considerevole numero di coppie di valori (x;y) della funzione y = f(x) con x appartenente all'intervallo I b) si considerano i valori assunti da una funzione lineare px+q per ogni x individuato in a) c) si determinano p e q, ossia pendenza e intercetta della funzione lineare affinch sia minima la somma dei valori assoluti delle differenze tra i valori assunti dalla funzione f(x) e quelli assunti dalla funzione lineare px+q d) si confrontano i valori di p e q trovati con quelli della funzione lineare che meglio approssima y=f(x) in x0. Il seguente foglio di Excel, al quale si pu accedere cliccando sull'hotword "approssimazioneglobale", stato cos costruito: a) nella prima colonna sono riportati i valori di x appartenenti all'intervallo [1; 2] incrementati con passo costante = 0.01 b) nella seconda colonna sono stati riportati i corrispondenti valori della funzione f(x) = x^3-3x^2 c) nella terza colonna sono stati riportati i valori di una funzione lineare px+q con p e q, aventi due valori inizialmente arbitrari d) nella quarta colonna sono stati riportati i valori assoluti delle differenze tra i valori della funzione f(x) e quelli della funzione lineare px+q e) nelle celle H2 e I2 sono stati riportati i valori di p e q, inizialmente arbitrariamente fissati. Si quindi calcolata la somma dei valori della colonna D (somma che appare nella cella D102). Quindi si chiesto al risolutore di Excel (chiedi al tuo insegnante o a qualche compagno pi esperto indicazioni su come funziona il risolutore di Excel) di determinare i valori delle celle H2 e I2 in modo da rendere minima la somma dei valori contenuti nella colonna D. Excel ha fornito la soluzione che potete vedere nelle colonne H2 e I2 del foglio. Provate a utilizzare il foglio e il risolutore anche con altre funzioni, diverse da x^3-3x^2. Approssimazioneglobale Un'applicazione Problema (da svolgere in piccoli gruppi) Sapendo che , come possibile approssimare  senza utilizzare l'operazione di radice quadrata? Prima di proseguire nella lettura, cercate di individuare strategie adeguate ad affrontare e risolvere il problema. Le nostre strategie risolutive Confrontate ora le vostre strategie risolutive con quelle proposte da altri gruppi di lavoro. Il confronto con altri gruppi di lavoro possibile che alcune delle strategie proposte siano simili alla seguente. Si sa che  e che  . Quindi 9 <  < 10. Si cercano ora il pi grande numero x con una cifra dopo la virgola tale che x^2 < 99 e il pi piccolo numero y con una cifra dopo la virgola tale che y^2 > 99. Si ha che 9.9 <  < 10.0 Ci consente di approssimare  a meno di 10^(-1). Per migliorare l'approssimazione, sufficiente cercare il pi grande numero x con due cifre dopo la viurgola, tale che x^2 < 99 e il pi piccolo numero y con una cifra dopo la virgola tale che y^2 > 99. Si ha che 9.94 <  < 9.95, ottenendo un'approssimazione a meno di 10^(-2). Ovviamente in questo modo si pu raggiungere l'approssimazione voluta. Il precedente metodo e altri simili, hanno un solo difetto: funzionano nel caso particolare del problema considerato (determinare un'approssimazione per la radice quadrata di un numero) e devono essere modificati, anche profondamente, se si considerano operazioni diverse dalla radice quadrata. Vi chiediamo ora utilizzare le conoscenze raggiunte sull'approssimazione locale di una funzione con una funzione lineare per affrontare con modalit pi generali e, pertanto, pi potenti, il problema appena posto. Avete visto come sia possibile determinare una formula per la funzione lineare che meglio approssima una funzione vicino a un suo punto. Come potete determinare la funzione lineare che meglio approssima  in x = 100? Tale funzione individuata dalla formula f(x) = 10 + f'(100) (x - 100) Il problema il calcolo di f'(100), ossia della derivata prima della funzione  in x = 100. Ricorderai, per, la modalit di calcolo della derivata prima di una funzione in un valore x0: a) si calcola la pendenza della secante nei punti (x0 +h; f(x0+h)) e (x0; f(x0))  b) si semplifica per h e poi si fa tendere a 0 h, in modo tale da determinare la penmdenza della tangente in (x0; f(x0)) che non pu dipendere da h. In questo caso f(x) =  e x0 = 100. Quindi si ha:  Sembra che si sia ricaduti nel problema originario: calcolare una radice quadrata e, per giunta, pi difficile di  . In realt le cose non stanno in questi termini, infatti se moltiplicate sia il numeratore della frazione, sia il denominatore per l'espressione , otterrete:  Ricordate che (A - B) (A + B) = A^2 - B^2 e verificate che  Fate ora tendere h a 0 e otterrete che  Allora una formula della funzione lineare che meglio approssima  nel punto (100; 10) f(x) = 10 + 0.05 (x - 100) A questo punto avete la possibilit di calcolare facilmente un'approssimazione di  : f(99) = 10 + 0.05 (99 - 100)  9.95. Notate che quello che abbiamo fatto per x0=100, lo possiamo ripetere per un qualunque altro valore e, in generale, per un x generico. In tal modo potremo calcolre la funzione derivata di ; vediamo come:  =  =  Quindi, per h che tende a 0, abbiamo  Calcolate ora, in analogo modo, valori approssimati di  Confrontate in risultati che avete ottenuto con quelli ottenuti da altri gruppi di lavoro e con quelli che fornisce TI-InterActive! utilizzando il calcolo diretto con la funzione "radice quadrata". normale che l'approssimazione peggiori sempre pi man mano che ci si allontana da 100 per il calcolo di  e man mano che ci si allnotana da 81 per il calcolo di  ? Le nostre risposte e osservazioni Se utilizzate il modulo grafico di TI-InterActive!, potete avere una suggestiva interpretazione grafica di quanto stato fatto. Qui sotto viene riportato il grafico di  nella finestra [0; 150] x [0; 15] con la funzione lineare ( e una sua formula) che approssima bene la radice quadrata nel punto (100; 10).  Come potete vedere, se ci si discosta poco da 100, la funzione lineare approssima bene la funzione radice, mentre l'errore aumenta se ci si discosta dal punto (100; 10). Notate anche che l'errore dipende anche da come fatta la funzione "radice quadrata" vicino al punto rispetto al quale si calcola l'approssimazione. Fate qualche considerazione pi puntuale su che cosa influenza l'errore che si commette approssimando una funzione vicino a un suo punto con una funzione lineare. Le nostre considerazioni Risolvi ora, individualmente, il seguente problema: sapendo che , approssimare localmente e linearmente . La mia risposta Attivit (a coppie o in piccoli gruppi, a casa) Cliccate sull'hotword un "problema importante" e leggete attentamente quanto scritto in esso. Se usate le calcolatrici grafiche, potete seguire l'attivit utilizzandole; altrimenti cercate di utilizzare TI-InterActive! per effettuare le stesse operazioni indicate nel file. Infine risolvete i problemi proposti e poi confrontate le vostre risoluzioni con altri gruppi di lavoro un problema importante La nostra risposta ai roblemi ed eventuali richieste di spiegazione Scheda 5. Dalla funzione alla sua derivata e viceversa. Considerazioni di carattere grafico con Cabri (Attivit in piccoli gruppi in laboratorio di informatica e di sistemazione in classe. Tempo da dedicare: 3 ore) Vogliamo ora innanzitutto far vedere come si pu rappresentare in Cabri, sullo stesso foglio di lavoro, una funzione y = f(x) di terzo grado e la sua derivata y=f'(x) e come si possa, agendo sui coefficienti di f(x), vedere come queste modicazioni si ripercuotono non solo sul grafico di y=f(x), ma anche su quello della sua derivata. Se l'esplorazione fatta con attenzione, osservando contemporaneamente i cambiamenti di y=f(x) e quelli di y=f'(x), potrete imparare moltissimo. Le idee su cui si basa questa costruzione sono simili a quelle che abbiamo utilizzato nella scheda 1 dellla lezione sulle "Funzioni quadratiche". Le riprendiamo, per vostra comodit (per le indicazioni precise sull'uso dei menu riprendete eventualmente in considerazione la scheda 1 della "Lezione sulle funzioni quadraiche"). Se per qualunque motivo, condiviso dalla vostra insegnante o dal vostro insegnante, non voleste costruire voi stessi la figura, potete scaricarla, possedendo Cabri II plus, cliccando sull'hotword funzione e derivata . Se, invece, non avete Cabri II plus, potete scaricare il fila in Cabrijava cliccando sull'hotword funzderjava . L'unica differenza rispetto al file in Cabri II plus che su quello avete anche un controllo sugli aspetti formali e non solo su quelli grafici e numerici, perch con Cabri II plus possibile ottenere le formule della funzione e della sua derivata. Eventuali problemi nello scaricare o nell'eseguire i file in cabri II plus. Cliccando su funzione e derivata possono verificarsi alcuni inconvenienti, anche se hai installato cabri II plus. Il primo che il file non si apra. In questo caso conviene salvarlo sul PC e aprirlo direttamnte da CabriII plus. Se si apre, potrebbe accadere che la parabola non si veda: in questo caso potrebbe essere accaduto che il punto x sia finito sulla griglia e quindi vengono visualizzate solo le coordinate intere del grafico. Per ovviare a questo inconveniente, vai sul quinto bottone del menu a icone e scegli "Ridefinizione di un oggetto", quindi clicca sul punto x, scegliendo "punto su un ogetto" dal menu a tendina che compare, poi spostati in un qualunque punto dell'asse x e quando compare "su questo asse" clicca con il mouse. Il grafico, un po' miracolosamente, ricomparir. ~7("HPIPYPP PPPPuPPPPPP PPPPPP]PFPGBPPlPPPPnPkPlPPPP PPXPPPP PPP PP P fPc roPPsNPPPPPNPOPTPUP\P]DPPPPP PPPjPb(PP4P5(P]P^ P~P)PPPLPM*PwPx PP)PPnP2 P3 P=!P>!P?!6Pu!Pv!P~!P! 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