TIInterActive File'Corso introduttivo alla geometria e alla dimostrazione Nome e cognome dei componenti del gruppo che svolge le attivit di gruppo di questa lezione Nome e cognome dei componenti della coppia che svolge le attivit di coppia di questa lezione Nome e cognome della studentessa o dello studente che svolge le attivit individuali di questa lezione Prerequisiti per la prima lezione del corso introduttivo alla geometria Non ci sono particolare prerequisiti, ma tutto ci che ricordi della geometria studiata nella scuola media potr esserti utile. Lezione 1 - Il problema del definire e del dimostrare. Una prima riflessione (si prevedono circa 15 ore di lavoro in classe) Premessa Nella scuola elementare e nella scuola media hai imparato tante conoscenze che riguardano lo studio delle figure. Probabilmente sai che cosa sono un triangolo isoscele, un rettangolo, un rombo;ricorderai le formule che consentono il calcolo della loro area. Forse ricorderai che cosa vuol dire che due rette sono parallele, oppure perpendicolari, o, ancora, che cosa si intende quando si dice che un quadrato ha quattro assi e un centro di simmetria. Sei quindi in una situazione molto simile a quella in cui si trovavano i geometri greci prima che Euclide scrivesse il suo libro "Elementi": come i geometri greci prima di Euclide, anche tu hai molte conoscenze geometriche e spesso sai applicarle per risolvere problemi. Quello che, molto probabilmente, ti manca l'organizzazione di queste conoscenze in una struttura sistematica, nella quale siano precisati alcuni concetti e alcune proposizioni di partenza, scelte come base della struttura e a partire dalle quali sia possibile ottenere ogni altra conoscenza ritenuta importante e significativa. In altri termini, le tue conoscenze non sono ancora organizzate in una teoria. Con le lezioni di questo percorso introduttivo di geometria ci proponiamo di avviarti gradualmente al sapere teorico, cercando di aiutarti a comprendere e ad apprezzare soprattutto la funzione che una teoria ha nello spiegare perch valgono le propriet che si osservano in una situazione geometrica. In queste lezioni farai un uso costante di un software di geometria, Cabri gomtre, che ti aiuter notevolmente nella fase di osservazione, di scoperta, di produzione di congetture e in quella successiva di controllo di plausibilit delle congetture prodotte. Cabri, quindi, ti aiuter a vedere la geometria e a convincerti che ci che hai osservato corretto. Cabri, per, non potr spiegarti perch le congetture che hai prodotto funzionano: una risposta esauriente a domande del tipo "perch cos" pu essere data solo in una teoria. La teoria che gradualmente costruiremo ha quindi la funzione di aiutarti a rispondere a domande del tipo "perch cos?" dopo che ti sarai convinto che le cose stanno proprio cos. AVVERTENZA: le hotword rimandano a file che sono stati costruiti sia in cabri II (ma bisogna possedere la licenza del software o una demo) sia in cabrijava (sono esplorabili con un qualuque browser). Se possedete la licenza del software, cliccando sui link "filecabri", potrete intervenire e poi salvare le operazioni effettuate sui fogli di lavoro. Se non possedete la licenza del software, n una versione demo, cliccat sui link che rimandano ai file di cabrijava, esplorabili con un qualunque browser. Scheda 0 Classficazioni di quadrilateri Tempo da dedicare all'attivit della scheda 0, compresa la lezione di sistemazione: 4 ore Attivit 1 (a coppie o in piccoli gruppi) Suddividetevi in coppie o a gruppi di tre per il lavoro in laboratorio di informatica con Cabri gomtre. Fate in modo che in ogni coppia o in ogni gruppo vi sia almeno un componente che abbia gi utilizzato Cabri gomtre o che sia abbastanza abile con il computer. Su cinque fogli diversi di Cabri gomtre costruite: a) un rettangolo b) un parallelogramma c) un quadrato d) un rombo e) un trapezio Descrivete quali propriet delle figure avete utilizzato per costruirle. La nostra descrizione delle costruzioni effettuate Ora prestate bene attenzione: costruire una figura con Cabri vuol dire che, comunque si trascinano i punti liberi, quella figura mantiene le propriet che la caratterizzano. Ci vuol dire, per esempio, chese pensate di aver costruito un rettangolo, non sufficiente che la figura che avete disegnato in Cabri sembri un rettangolo in una particolare configurazione. Muovendo i punti liberi deve continuare a essere un rettangolo, ossia ad avere gli angoli retti. Per esempio, se cliccate sull'hotward quadrilatero e rettangolo troverete due figure che sembrano due rettangoli. Una di esse, per, trascinando i vertici si deforma: i suoi angoli non rimangono retti. Invece l'altra, comunque si trascinino i vertici liberi A e B e il vertice C, mantiene la forma di rettangolo. In casi come questi diciamo che la prima figura non un rettangolo, mentre la seconda s. quadrilatero e rettangolo (cabri) quadrilatero e rettangolo (cabrijava) Per vedere se effettivamente avete costruito i quadrilateri particolari che vi abbiamo chiesto di costruire in ogni foglio, dovreste sottoporre le figure al "test del trascinamento", ossia trascinare i vertici liberi e verificare che mantengano quelle particolari propriet le caratterizzano come figure. Fate molta attenzione a questo punto: un quadrato, un rombo, un trapezio, un parallelogramma, per essere considerati veramente tali devono resistere al test del trascinamento. Ci vuol dire che, comunque si trascinino i vertici che possibile muovere, quelle figure devono rimanere, rispettivamente, quadrati, rombi, trapezi parallelogrammi. Se una figura non regge al test del trascinamento, ossia le sue propriet caratteristiche non si mantengono trascinando i vertici liberi, non potete considerare quella figura ben costruita. Partiamo dalla figura con meno propriet: il trapezio. Per costruire un trapezio dobbiamo innanzi tutto chiederci quale propriet vogliamo considerare fondamentale per caratterizzare i trapezi. Ci equivale a dire che dobbiamo definire il trapezio. La definizione deve consentire di individuare, nell'insieme dei quadilateri (ossia dei poligoni del piano con quattro lati e quattro vertici) tutte e sole quelle che sono trapezi. Quando si definisce si abbastanza liberi: si ha un vincolo necessario che quello di non cadere in contraddizione (per esempio non definire oggetti impossibili) e un vincolo meno forte che quello di caratterizzare le figure in base a propriet che si considerano significative. Spesso i quadrilateri vengono definiti in base a propriet che riguardano l'uguaglianza di lati o angoli, oppure il parallelismo o la perpendicolarit dei lati (in genere si preferisce utilizzare il termine congruenza per indicare l'uguaglianza di oggetti geometrici. Per ora consideriamo i termini uguaglianza e congruenza come sinonimi e quindi puoi usare quello che preferisci). Possiamo quindi provare a definire il trapezio come un quadriletro che ha due lati paralleli. Domanda Prestate bene attenzione: "due lati paralleli" vuol dire "solo due lati paralleli" o "almeno due lati paralleli"? Se non si precisa si rischia di essere ambigui. Noi pensiamo che "due lati paralleli" voglia dire: Su alcuni libri di testo si sceglie la prima formulazione: un trapezio un quadrilatero che ha solo due lati paralleli Su altri libri di testo si sceglie la seconda fomulazione: un trapezio quadrilatero che ha almeno due lati paralleli. Attivit 2 (in piccoli gruppi). Provate ad aprire il seguente file (scegliete cabri o cabrijava a seconda se disponete o non disponete di una copia del software Cabri gmtre) e dite se, secondo voi, chi ha costruito il file ha optato per la prima o per la seconda formulazione trapeziocabri trapeziocabrijava A nostro avviso chi ha costruito il file ha optato per la seguente definizione di trapezio: infatti: Esplorando il file abbiamo notato le seguenti propriet di un trapezio (oltre al parallelismo delle basi) La costruzione del file stata cos effettuata: segmento AB punto D retta per D parallela ad AB punto C sulla retta per D parallela ad AB segmento CD segmento AD segmento BC nascondi retta per P parallela ad AB misure varie Scegliamo la seguente definizione di trapezio: si dice trapezio ogni quadrilatero che ha almeno due lati paralleli (detti basi) Vediamo ora la definizione di parallelogramma. Come dice la parola stessa, un parallelogramma un quadrilatero che ha i lati paralleli a due a due (ovviamente si tratta delle coppie di lati opposti). Potremmo anche dire che si dice parallelogramma ogni trapezio che ha due coppie di lati paralleli. In questo modo si capisce che ogni parallelogramma un caso particolare di trapezio. Attivit 3 (in piccoli gruppi) Potete esplorare le propriet di un parallelogramma aprendo uno dei due seguenti file: parallelogrammacabri parallelogrammacabrijava Propriet di cui gode un parallelogramma (che abbiamo notato durante l'esplorazione): Domanda Naturalmente dovreste avere notato che tutte le propriet che valgono per i trapezi valgono anche per i parallelogrammi. Perch? La nostra risposta La costruzione del file stata effettuata cos: segmento AB segmento AD parallela per D ad AB parallela per B ad AD intersezione (C) tra la parallela per D ad AB e la parallela per B ad AD segmenti CD e BC nascondi rette parallele misure varie Attivit 4 (a coppie) Provate ora a costuire voi stessi un rettangolo (ossia un parallelogramma che ha tutti e i quattro angoli retti) con Cabri gomtre e poi esplorate le propriet di cui gode un rettangolo. Se non disponete di Cabri gomtre, aprite, per l'esplorazione, il seguente file di Cabrijava rettangolocabrijava Il risultato della nostra esplorazione Domanda: Abbiamo detto che un rettangolo un parallelogramma che ha tutti gli angoli retti. Avremmo potutto definire il rettangolo come un parallelogramma che ha un angolo retto? Perch? La nostra risposta Vediamo ora come possibile costruire un rombo. Definiamo il rombo come un parallelogramma che ha tutti i lati uguali. }Z8P9\PP^PPgP_P`PeH@P@PP@~PPPe@P,@P2@P@Pf@P @P e@P @P ;@P. (PV PX [P P P @P3P@PP@Pc"@P%@PP*PPPPPH3P{Pq P| P PP\P P  PPiPPj Pl P P Ps" P}"oP"##P# #!#P$#VPz# P#P#P$P$$P)% P3%(P[&n&o&Pt&'P&P&P&P`'Ps'~PBComic Sans MS"ArialBComic Sans MSTimes New Romanp"Arial"Arial"Arial"Arial7889_``aabbccdde-./00112233445566778899::;;<<==>>??@`a3 4 - . 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Le propriet del rombo sono le seguenti: Nota che la circonferenza di centro A e raggio AB ha avuto lo scopo di costruire un segmento AD uguale ad AB. La costruzione seguente ha semplicemente chiuso un parallelogramma avente due lati consecutivi uguali. Quindi abbiamo utilizzato la circonferenza come un vero e proprio compasso. Domanda: Avresti potuto definire il rombo come un parallelogramma che ha due lati consecutivi uguali? Perch? La mia risposta Attivit 6 (a coppie) Provate ora a costuire voi stessi un quadrato (ossia rombo rettangolo, che ha quindi lati uguali e angoli retti) con Cabri gomtre e poi esplorate le propriet di cui gode un quadrato. Se non disponete di Cabri gomtre, aprite, per l'esplorazione, il seguente file di Cabrijava quadrato Il risultato della nostra esplorazione Domanda: possibile definire il quadrato come un rettangolo avente due lati consecutivi uguali? O come un rombo avente un angolo retto? Perch? La nostra risposta Domanda: vero che un quadrato gode di tutte le propriet di un rombo e di tutte quelle di un rettangolo? Perch? La nostra risposta Rispondete ora alla seguente domanda: Come definite un trapezio isoscele? Risposta Confrontate la vostra risposta con quella fornita da altri gruppi di lavoro. Qualche gruppo ha sicuramente scritto che un trapezio isoscele un quadrilatero avente due lati obliqui uguali. vero che ogni trapezio isoscele ha due lati obliqui uguali, ma non possibile prendere questa propriet come definizione di trapezio isoscele. Infatti abbiamo detto che un parallelogramma un particolare trapezio (ha infatti due lati paralleli). Inoltre un parallelogramma ha due lati uguali e, quindi sarebbe un trapezio isoscele. Qui nasce un grosso problema, perch le scelte compiute portano a una contraddizione. Infatti abbiamo ogni parallelogramma, in base alle definizioni date un trapezio isoscele. Questo vuol dire che tutte le propriet di cui gode un trapezio isoscele devono essere godute anche dai parallelogrammi. Purtroppo, per, un trapezio isoscele ha un asse di simmetria, mentre un parallelogramma ha solo un centro, ma non un asse di simmetria (per convincervi di tale fatto aprite una delle due seguenti figure ed esploratela). nosimmetriacabri nosimmetriacabrijava Come abbiamo detto prima, si pu essere abbastanza liberi nell'attivit di definire, ma non si pu cadere in contraddizione. Quindi siamo obbligati a scegliere un'altra definizione per il trapezio isoscele: non un trapezio con i due lati obliqui uguali, ma un trapezio che ha le diagonali uguali, oppure un trapezio che ha gli angoli alla base uguali o, ancora, un trapezio che ha un asse di simmetria. Queste, infatti, sono propriet che non valgono per ogni parallelogramma e, quindi, non generano contraddizioni. Naturalmente sar poi possibile dimostrare che un trapezio isoscele (ossia un trapezio con le diagonali uguali) ha anche i lati obliqui uguali, ma il fatto di non utilizzare la propriet dell'uguaglianza dei lati obliqui come propriet definitoria (ossia che definisce il trapezio isoscele) consente di evitare di considerare il parallelogramma come un particolare trapezio isoscele e, quindi, evita la contraddizione. Attivit 7 (individuale da svolgersi a casa). Abbiamo parlato di simmetria. Prova a classificare i quadrilateri in base alle simmetrie di cui godono. La mia risposta Attivit 8 (individuale da svolgersi a casa). Esplora nuovamente le precedenti figure dei quadrilateri particolari ponendo attenzione ai movimenti concessi a ciascuno dei loro vertici. In un quadrilatero generico puoi spostare ovviamente un qualunque vertice in una qualunque posizione del piano. Non ci sono limitazioni al movimento di ciascun vertice. Poich un punto individuato nel piano da una coppia ordinata di numeri reali (dette ascissa e ordinata), possiamo dire che un punto che si pu muovere senza limitazioni ha sia l'ascissa, sia l'ordinata libere di assumere qualunque valore, indipendentemente l'una dall'altra. Diciamo che un punto di questo tipo ha due gradi di libert. Un quadrilatero generico ha ciascun vertice con due gradi di libert, quindi in totale diciamo "otto gradi di libert". E un trapezio? Nella figura che hai a disposizione e che hai gi esplorato, i punti A, B e D hanno due gradi di libert ciascuno. Invece il punto C, come puoi notare, vincolato a muoversi solo orizzontalmente, sul segmento DC. Quindi ha un solo grado di libert. Il trapezio quindi un quadrilatero con sette gradi di libert. Esplora i file che riportano la costruzione ei vari quadrilateri e classifica i quadrilateri in base ai loro grdi di libert. Nota che, in base a questa classificazione, non possibile distinguere tra rombo e rettangolo. La mia classificazione delle figure in base ai gradi di libert Seguite ora con attenzione la lezione di sistemazione dell'insegnante, in particolare alle riflessioni che far sull'azione del definire e sul ruolo delle definizioni. Ci che non abbiamo capito al termine di questa attivit Scheda 1 Un primo problema aperto. Il parallelogramma di Varignon Tempo da dedicare all'attivit della scheda 1, compresa la lezione di sistemazione: 3 ore Attivit 1 (a coppie) Considerate un quadrilatero ABCD e i punti medi: M, del lato AB; N del lato BC; P del lato CD; Q del lato DA. Congiungete ora i punti N, M, P,Q e considerate il quadrilatero NMPQ. Che cosa potete dire delle propriet di tale quadrilatero al variare di ABCD? Vi chiediamo di eslorare la situazione o costruendo voi stessi il file con Cabri o, se non avete il software a disposizione, aprendo il file di cabrijava (cliccando sull'hotword che segue). In entrambi i casi richiediamo una risposta articolata per ogni congettura che produrrete, secondo lo schema di seguito riportato (da ripetere per ogni congettura prodotta). varignonjava La nostra risposta: Prima congettura prodotta: Descrizione delle modalit di esplorazione che hanno portato alla produzione della prima congettura: Modalit di validazione (verifica o confutazione) della congettura prodotta: Spiegazione finale del perch la congettura vale: Sicuramente, nell'esplorazione del file avrete notato che, al variare di ABCD il quadrilatero MNPQ varia e, facendo determinate ipotesi su ABCD, possibile far s che MNPQ goda di determinate propriet. Per esempio avrete notato che, quanto pi ABCD assomiglia a un quadrato, tanto pi anche MNPQ assomiglia a un quadrato. Questo fatto si vede chiaramente con Cabri! Il risultato di questa osservazione la formulazione della congettura: SE ABCD un quadrato ALLORA MNPQ un quadrato Come potete vedere, abbiamo formulato la congettura in forma condizionale, ossia nella forma SE valgono certe condizioni (dette "ipotesi"), ALLORA possiamo affermare una ben determinata proposizione (detta "tesi"). probabile che voi non abbiate formulato le vostre congetture nella forma SE ..... ALLORA .... Prima di proseguire nella lettura, vi invitiamo a farlo, esplicitando, per ogni congettura riformulata nella forma SE .... ALLORA.... ipotesi e tesi, come suggerito qui di seguito: Se ABCD un quadrato, allora MNPQ un quadrato. Ipotesi: AB=BC=CD=DA e ABC = BCD=CDA=DAB = 90 e AM=MB; BN=NC; CP=PD; DQ=QA Tesi: MN=NP=PQ=QM e MNP=NPQ=PQM=QMN=90 La riformulazione delle nostre congetture nella forma SE...ALLORA ... e l'esplicitazione, per ciascuna congettura, di ipotesi e tesi: Come possibile testare la validit della congettura prodotta? La domanda pu sembrare piuttosto curiosa . Infatti si vede chiaramente che, nel caso in cui ABCD sia un quadrato, MNPQ anch'esso un quadrato. D'altra parte dovreste sapere bene che aver fatto in modo da far sembrare ABCD un quadrato non garantisce assolutamente che ABCD goda delle propriet dei quadrati. Le "regole del gioco" che abbiamo stabilito dicono che ABCD un quadrato solo se regge al test del trascinamento, ossia se ABCD continua a rimanere un quadrato comunque si sposti un suo vertice libero. Quanto ora affermato suggerisce che, se si vuole testare la congettura con Cabri, sia sensato costruirsi un quadrato ABCD e poi verificare che MNPQ, comunque si spostino i vertici liberi, continua a essere un quadrato. Provate ad effettuare tale costruzione con Cabri o a aprire il file quadratovarignonjava e a esplorare la situazione. quadratovarignonjava Certamente ora sarete del tutto convinti e sicuri che la vostra congettura corretta. Cabri vi ha consentito di verificarla al di l di ogni ragionevole dubbio. Potete averla verificata misurando lati e angoli o chiedendo, a Cabri, la verifica della propriet di perpendicolarit. In ogni caso Cabri vi ha detto che la vostra congettura corretta: se ABCD un quadrato, allora MNPQ un quadrato stata validata con Cabri. Questo un primo livello di giustificazione della validit della congettura: lo strumento che abbiamo deciso di utilizzare per lo studio delle figure geometriche, ossia un software di geometria dinamica, consente di dire che la congettura vale. Provate a rivedere le vostre congetture alla luce di quanto abbiamo ora detto. Discutete nel vostro gruppo su quanto stato detto ed esplicitate per scritto eventuali punti poco chiari. Non abbiamo capito i seguenti punti: Abbiamo quindi un'idea di come utilizzare Cabri o un altro software di geometria dinamica per effettuare esplorazioni, osservare dinamicamente come variano certe configurazioni geometriche, scoprire propriet e formulare, nella forma condizionale, congetture, precisandone ipotesi e tesi. Abbiamo anche un'idea di come utilizzare Cabri o un altro software di geometria dinamica per validare le congetture prodotte (si costruisce una figura che soddisfi le ipotesi e poi, con lo strumento "misura" o con lo strumento "verifica di propriet" di Cabri, si controlla che la tesi regga al test del trascinamento). K&SPT P^P P  PQPW'P~PgPPP  P'P= F GPK(Ps P} PPP#P* P3mPP P%PPP$P PP3 P4  E PF PG  ] P_ P PPPP PMPKPYPBPCBPPPk w xPzPPP PPPPPPPTPP~###cP&$P'jP"Arial"Arial"Arial4556ABgh +,DEQRRSSTVWWXXYYZZ[[\|}}~       9:;<=>GHHIIJJKrssttuuvvwwxxyyzz{{||} "##$$%%&&''(())*    3 4 E F F G ] ^ ^ _ c d 67op-../   MNNOOPPQQRRSSTTUUVVWWXXY9::;;<<==>>??@@AABBChihiijxyyz  !!""##$$%%&&''(tuuvvwwxxyyzz{{||}}~~()QRRSST) * *"+"{#|#|#}#######$$$%%%6&7&7&8&&&&&&&&&''''''''''' ' '!'!'"'"'#')))dL  \ l0!#d p@ P !$`'d p@ P !$`'dL  \ l0!#2http://www.matematica.it\paola\Cabriweb\rombo.fig 2http://www.matematica.it\paola\Cabriweb\rombo.htm 5http://www.matematica.it\paola\Cabriweb\quadrato.htm <http://www.matematica.it\paola\Cabriweb\noassesimmetria.fig <http://www.matematica.it\paola\Cabriweb\noassesimmetria.htm 5http://www.matematica.it\paola\Cabriweb\varignon.htmAhttp://www.matematica.it\paola\Cabriweb\quadratovarignonjava.htmArialArialArialn6 Dopo un lavoro di questo tipo possiamo dire che la congettura vale, ma possiamo anche dire "perch" vale? Abbiamo, cio, una spiegazione che ci soddisfa pienamente del perch la congettura vale? In matematica si considera veramente soddisfacente una spiegazione quando si struttura nella forma di una argomentazione che, tecnicamente, viene chiamata dimostrazione. Lo scopo della prossima attivit sar quella di lavorare proprio sul concetto di dimostrazione. Ecco quello che dice sulle dimostrazioni un logico che lavora al dipartimento di matematica di Torino, Gabriele Lolli in un libro, QED, Fenomenologia della dimostrazione pubblicato nel 2005: "Nulla pi importante in matematica delle dimostrazioni, e nulla paradossalmente meno studiato. I matematici ne discutono in continuazione, le fanno, le giudicano, le confrontano, ne valutano i rispettivi meriti, ma manca una considerazione teorica [...] Non si sa neanche dare una definizione che accontenti tutti [...] Per studiare le dimostrazioni occorre per prima cosa avere presenti molti esempi." Deve essere chiaro che si tratta di un concetto difficile e delicato, che pu essere appreso solo gradualmente e attraverso un coinvolgimento forte nel lavoro che di seguito proponiamo. Scheda 2 Perch se ABCD un quadrato, allora MNPQ un quadrato? Una prima riflessione sulle dimostrazioni Tempo da dedicare all'attivit della scheda 2, compresa l'attivit di sistemazione dell'insegnante: 5 ore Riprendiamo in considerazione la congettura Se ABCD un quadrato, allora MNPQ un quadrato precisandone ipotesi e tesi: Ipotesi: 1. AB=BC=CD=DA 2. ABC = BCD=CDA=DAB = 90 3. AM=MB; BN=NC; CP=PD; DQ=QA Tesi: MN=NP=PQ=QM e MNP=NPQ=PQM=QMN=90 Sappiamo che vera e vogliamo spiegare perch. Spiegare perch, in matematica vuol dire produrre un ragionamento che parte da alcune proposizioni assunte per buone e, utilizzando anche le ipotesi ed eventuali definizioni, giunge alla tesi. Questo ragionamento detto dimostrazione (la tesi la proposizione da dimostrare). In genere, per comunicare un dimostrazione in geometria ci si aiuta con una figura che rappresenti, senza aggiungere ipotesi, la configurazione descritta.  Per dimostrare la tesi abbiamo quindi bisogno di qualche proposizione messa a fondamento della teoria, che vogliamo via via costruire, e che consenta di ricavare (meglio dedurre) la tesi a partire dalle ipotesi fatte. Nella scuola media avrete sentito parlare dei criteri di uguaglianza dei triangoli. Qui richiamiamo il primo, che metteremo a fondamento della nostra teoria. Il primo criterio di uguaglianza dei triangoli parte dalla considerazione che se di un triangolo ci vengono dati due lati e l'angolo fra essi compreso, noi siamo in grado di disegnare quel triangolo e solo quello. Ossia non ve ne sono altri con quelle caratteristiche. Attivit 1 (a coppie) Per convincervi di tale fatto, potete esplorare la seguente figura di Cabrijava, dove vengono dati solo due lati e potete costruire con essi infiniti triangoli, proprio perch potete variare l'ampiezza dell'angolo compreso fra i due lati dati. Nel file toverete oggetti verdi: sono quelli che dovete muovere per esplorare la situazione e osservare aspetti significativi per la teoria; oggetti rossi: sono gli oggetti che variano quando si muovono gli oggetti verdi; oggetti blu: sono i parametri del problema, ossia oggetti che non dipendono da quelli verdi e quindi non variano con essi. Variando i parametri si ottiene un problema dello stesso tipo di quello di partenza, ma con dati iniziali diversi. duelatijava Se ora aprite il seguente file di Cabrijava, dove stato fissato l'angolo compreso tra i due lati assegnati, vedrete che il triangolo unico (cambia solo la sua posizione). duelatieangolocompresojava Il primo criterio di uguaglianza dice quindi che SE due triangoli hanno ordinatamente uguali due lati e l'angolo fra essi compreso ALLORA i due triangoli sono uguali. Questa proposizione viene messa a fondamento della teoria: si tratta di un assioma, ossia di una proposizione che non deve essere dimostrata, ma che, anzi, pu essere utilizzata in una qualunque dimostrazione senza necessit di giustificarla. Riprendete in considerazione la congettura da dimostrare: Ipotesi: 1. AB=BC=CD=DA 2. ABC = BCD=CDA=DAB = 90 3. AM=MB; BN=NC; CP=PD; DQ=QA Tesi: MN=NP=PQ=QM e MNP=NPQ=PQM=QMN=90  Ora considerate i due triangoli DPQ e PCN. Essi hanno: DP = PC per l'ipotesi 3. DQ = CN, perch DQ e CN sono rispettivamente le met dei segmenti uguali DA e CB (ipotesi 1 e 3). QDP = NCP per l'potesi 2. Quindi i due triangoli sono uguali per il primo criterio di uguaglianza dei triangoli. In particolare. i due triangoli hanno uguali anche i lati PQ e PN. Proseguite voi la dimostrazione dimostrando che PQ = QM e che QM = MN, prendendo come esempio la precedente dimostrazione. Dimostriamo che PQ=QM Dimostriamo che QM = MN Siamo ora in grado, dopo aver dimostrato che PN = PQ; PQ = QM; QM = MN, di dire che MN=NP=PQ=QM, ossia di affermare la prima tesi? S, basta assumere come assioma che "se un segmento A uguale a un segmento B e B uguale a C, allora anche il segmento A uguale al segmento C" (propriet transitiva dell'uguaglianza). Nella dimostrazione abbiamo utilizzato anche un'altra propriet che assumeremo come assioma: "met di segmenti uguali sono uguali". Una volta che una congettura stata dimostrata, ossia si prodotta una dimostrazione che precisi come la tesi legata alle ipotesi e alle proposizioni messe a fondamento della teoria (assiomi), essa assurge al rango di teorema. La dimostrazione della prima tesi consente di affermare che PQMN un rombo, in quanto un quadrilatero che ha tutti i lati uguali. Per affermare che PQMN un quadrato dobbiamo dimostrare anche la seconda tesi, ossia che MNP=NPQ=PQM=QMN=90. Per ottenere questa tesi dimostriamo innanzitutto che: se un triangolo ABC isoscele sui lati AB e AC, allora gli angoli alla base ACB e ABC sono uguali fra loro.  Ipotesi: AC = AB Tesi ACB = ABC Dimostrazione Sulle rette individuate dai lati AC e AB, prolunghiamo i due lati AC e AB di due segmenti CE e BD fra loro uguali.  Questa costruzione consente di considerare i due triangoli cos ottenuti AEB e ABD che hanno: AE = AD (perch somme di segmenti uguali, per l'ipotesi e per la costruzione effettuata); AC = AB, per ipotesi; EAB=DAC perch in comune. Quindi i due triangoli sono uguali per il primo criterio di uguaglianza e, in particolare, BE = CD e BEC = CDB. Consideriamo ora i due triangoli ECB e DBC. Essi hanno: EC=BD per costruzione; BE = CD per la dimostrazione precedente; BEC = CDB per la dimostrazione precedente. Quindi i due triangoli sono uguali per il primo criterio di uguaglianza e, in particolare, ECB = DBC. Ma ECB e DBC sono supplementari rispettivamente degli angoli ACB e ABC (ci vuol dire che ECB + ACB = 180 e DBC + ABC = 180). Quindi ACB e ABC possono essere visti come differenze di angoli uguali e, pertanto, sono fra loro uguali e ci proprio quanto volevamo dimostrare. Notate che questa dimostrazione piuttosto complessa: parte con una costruzione di cui solo alla fine si capisce l'utilit. Perch prolungare i lati AC e AB di due segmenti uguali? Per ottenere due triangoli cui poter applicare il primo criterio per dimostrarne l'uguaglianza e poi proseguire considerando altri due triangoli in modo da dimostrare, sempre applicando il primo criterio, l'uguaglianza di due angoli che sono supplementari di ACB e ABC, gli angoli che interessano la tesi. Questa dimostrazione veniva considerata, ancora in tempi relativamente recenti, il "pons asinorum", ossia il primo vero e proprio ostacolo necessariamente da affrontare e sorpassare per chi volesse avvicinarsi al concetto di dimostrazione. In questo corso non vogliamo mettere alcun "pons asinorum", ma bene riguardare con calma e dedicare il giusto tempo alla riflessione su questa dimostrazione ... Con il teorema appena dimostrato (in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono fra loro uguali) e con l'assioma che afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo 180, su cui ritorneremo pi avanti, ma che dovresti gi conoscere dalla scuola media, siamo in grado di completare la dimostrazione che PQMN un quadrato. Ci limitiamo ad accennare ai passi fondamentali di questa dimostrazione, chiedendoti di completarla rispondendo alle domande "perch?" e "come?" che compaiono tra parentesi. Infatti, consideriamo il triangolo PDQ. Esso ha PD = DQ (perch? ) Quindi DPQ = DQP (perch? ) Allora, poich la somma degli angoli interni vale 180 e QDP = 90, abbiamo che DQP = DPQ = 45. Analogamente si dimostra che AQM = 45 (come? ). Possiamo quindi concludere che PQD+AQM = 90 e quindi che PQM=90 (perch? ). Analogamente si dimostra che PNQ = NMQ = NPQ = 90 (come? ) e, con ci, la tesi. Riassumiamo gli assiomi che fino a ora abbiamo esplicitato, generalizzando quello sulla met di segmenti uguali: se due triangoli hanno due lati e l'angolo compreso ordinatamente uguali, allora i due triangoli sono uguali se due segmenti o due angoli sono somme o differenze di segmenti o angoli uguali, allora essi sono uguali se due segmenti o due angoli sono multipli o sottomultipli, secondo uno stesso numero, di segmenti o angoli uguali, allora essi sono uguali se un segmento (o un angolo) A uguale a un segmento (o un angolo) B e B uguale a C, allora anche A e C sono uguali la somma degli angoli interni di un triangolo 180 (su questo assioma ritorneremo in seguito). Ma quanti e quali sono gli assiomi di cui ci dotiamo per fare le nostre dimostrazioni? La ricerca degli assiomi attivit di grande importanza nella costruzione di una teoria. Ci sono problemi legati alla scelta degli assiomi; per esempio quello di scegliere di un numero di assiomi minimale (tutti e soli quelli necessari e sufficienti a dimostrare i teoremi che riteniamo significativi). Noi, per ora, non ci preoccuperemo di questi problemi scegliendo un'assiomatica sovrabbondante (ossia con alcuni assiomi non necessari) e, in ogni caso, riempiremo la lista dei nostri assiomi gradualmente. Le due seguenti proposizioni precisano gli strumenti che potrete utilizzare nella geometria euclidea per effettuare costruzioni: la riga e il compasso. Per due punti del piano passa una e una sola retta Questa proposizione, che scegliamo come assioma, garantisce che esiste uno strumento, detto riga, che consente di tracciare rette. Dato un punto C, detto centro, e un segmento, detto raggio, possbile costruire una e una sola circonferenza di centro C e raggio r. Questa proposizione, che segliamo come assioma, garantisce che esiste uno strumento, detto compasso, che consente di tracciare circonferenze. La riga (che consente di tracciare rette e segmenti), il compasso (che consente di tracciare circonferenze) e il segnapunti (che consente di tracciare punti) sono gli strumenti basilari della geometria, quelli che consentono di costruire le figure geometriche. Andiamo ora alla scoperta di nuove proposizioni che sceglieremo come assiomi, anche se nella geometria di Euclide esse possono in realt essere dimostrate. Queste proposizioni sono note come secondo e terzo criterio di uguaglianza dei triangoli. Invece che enunciarle, provate a eseguire la seguente attivit che dovrebbe aiutarvi a scoprire da soli gli enunciati del secondo e del terzo criterio di uguaglianza. Attivit 2 (in piccoli gruppi) Se avete tre lati e tre angoli che soddisfano a determinate condizioni che pereciseremo in seguito, il triangolo determinato, nel senso che esiste un solo triangolo avente quei lati e quegli angoli. D'altra parte avete anche visto che essendo noti due lati e l'angolo fra essi compreso, il triangolo univocamete determinato. In altri termini, se un vostro amico vi telefona da un paese lontano e vi dice che ha disegnato un triangolo di lati 23 e 43 e angolo fra essi compreso di 30, voi sarete in grado di ridisegnare quel triangolo ed eventuali piccole differenze dipenderanno dagli strumenti utilizzati e dalla precisione del disegno e non dal fatto che esistono diversi triangoli con quelle caratteristiche! Quindi tre elementi possono bastare ... ma bastano sempre? E quattro? E cinque? Per rispondere a queste domande vi chiediamo di esplorare i seguenti file in Cabrijava riportando, per ogni esplorazione compiuta i risultati delle vostre osservazioni espresse sotto forma di congettura. In ogni file ci sono oggetti verdi: sono quelli che dovete muovere per esplorare la situazione e osservare aspetti significativi per la teoria; oggetti rossi: sono gli oggetti che variano quando si muovono gli oggetti verdi; oggetti blu: sono i parametri del problema, ossia oggetti che non dipendono da quelli verdi e quindi non variano con essi. Variando i parametri si ottiene un problema dello stesso tipo di quello di partenza, ma con dati iniziali diversi. Gli oggetti di colore verde acqua, quando ci sono, sono costruzioni che aiutano a ottenere informazioni dall'esplorazione, ma che non detto siano necessari alla stessa. Trelatijava Le nostre conclusioni sull'esplorazione di questo file Duelatiangolooppostojava Le nostre conclusioni sull'esplorazione di questo file Tre angoli Le nostre conclusioni sull'esplorazione di questo file Dueangoliunlatojava Le nostre conclusioni sull'esplorazione di questo file Dueangolilatocompresojava Le nostre conclusioni sull'esplorazione di questo file Cinque elementi Le nostre conclusioni sull'esplorazione di questo file Riepilogando, dovreste aver notato che il triangolo univocamente determinato nei seguenti tre casi: >PlP]P_P2 P= P PEP,PB PKPbPCPE/PtP{ P!"P!P!"P!Pq" P"FP""P"7P0# PP#1 P- P-|P4 44P46PL4PQ4i4j4Pm48P4P4 44P49P4P4 5 5P 5:PF5 PR5k5l5Po58P5 P555P58P5tP"Arial"Arial"Arial())*^__`()EFFGPQab|}    1 2 2 3 H I J K > ?    mntu?@ABEFFG}~jk*++,ABBCCDDEEFFGGHHIIJJKbccdde  ,--../  BCWX[\)*CD,-WXPQQRR!S!!!H"I"""""g#h#h#i#i#j#####H$I$I$J$$$$$A%B%B%C%%%%%&&&&&&u&v&s(t(t(u( ) ) ))@)A)))))J*K*****++++{,|,|,},}-~-~--------l0m0114444444444L4M4M4N4N4O4O4P4j4k4k4l4l4m444444444444444444444444444 5 5 5 5E5F5F5G5G5H5H5I5I5J5J5K5K5L5L5M5M5N5N5O5O5P5P5Q5l5m5m5n5n5o5555555555555555555555555555555555666666666666666666 6n6o6o6d p@ P !$`'dL  \ l0!#dL  \ l0!#}@dds;7 CTxobjItemࡱ>   !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~Root Entry$`VF@A6(R@Contents tOlePres000NANIKQlt.tBM.t6      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~$>#R KQlt.tBM.t6(]Us=)H48.$1%- *E'<34+55663&7)"#G69Z 9* 9vMPr -  6:$&. 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