TIInterActive FileC/Il moto armonico e le funzioni armoniche nel piano cartesiano Premessa (Si prevedono circa 40 ore di lavoro in classe) Prerequisiti: funzioni lineari, successioni lineari; concetto di funzione; differenze finite; polinomi e operazioni con essi; il moto rettilineo uniforme e la retta nel piano cartesiano; il moto uniformemente accelerato e la parabola nel piano cartesiano; il moto circolare uniforme, la circonferenza e l'ellisse nel piano cartesiano. In questa lezione affronteremo uno dei modelli pi ricchi di applicazioni in fisica: il modello dell'oscillatore armonico (per esempio una molla o un pendolo che oscillano senza attrito). Ci consentir di introdurre le funzioni armoniche (il seno il coseno) e, con esse, elementi di goniometria e trigonometria. Riprenderemo anche il problema accennato nella precedente lezione e cio la determinazione delle leggi orarie di posizione, velocit e accelerazione delle ascisse e ordinate di un punto che si muove nel piano di moto circolare uniforme. Scheda 1. L'oscillatore armonico e le funzioni armoniche (Si prevedono circa 12 ore di lavoro in classe) Attivit 1 (individuale). Rispondi al questionario accessibile cliccando sulla seguente parola calda: questionario iniziale La mia risposta al questionario Attivit 2 (da svolgere in piccoli gruppi) In classe dovrebbe essere posto uno stativo metallico con una molla e dei pesi. Altre molle e pesi dovrebbero essere resi disponibili per effettuare esperimenti. Si tratta, per ora, di osservare un fenomeno di oscillazione libera di una massa sottoposta a forza elastica. 1. Considerate una massa ferma, appesa ad una molla in posizione verticale. Descrivete con parole vostre, quali forze agiscono sulla massa. Pu esservi daiuto utilizzare un disegno nel quale indicarle. 2. Considerate ora il caso in cui la massa del caso precedente sia messa in oscillazione lungo la verticale. Descrivete con cura, in modo da rendere intuibile il fenomeno a chi ancora non lo conosca, il moto di oscillazione della massa. La nostra descrizione 3. Soffermatevi ora sulle seguenti grandezze: posizione, velocit, accelerazione e, inizialmente, descrivetene a parole (magari aiutandovi con dei gesti) il comportamento nei vari istanti del moto. Cercate poi una descrizione pi precisa aiutandovi con dei grafici. 4. Che cosa si pu dire in merito alle forze? Indicate le eventuali differenze rispetto al caso del punto 1. In particolare riflettete sul ruolo che ha la gravit nel moto in questione. (Suggerimento: ripercorrete mentalmente la procedura che avete fatto per costruire il sistema: come si comportata la molla dopo che avete appeso la massa ? Come oscilla la massa rispetto alla posizione di partenza indicata dalla tacca? ) La nostra risposta ai punti 3 e 4 5. Soffermatevi sulle considerazioni fatte ai punti precedenti: provate a descrivere la forza esercitata dalla molla con particolare attenzione al legame tra il suo valore e lallungamento della stessa. La nostra risposta Attivit da svolgere a casa: Considera una delle situazioni che avete gi considerato in precedenza e traccia un grafico che dia unidea di come la forza elastica dipende dallallungamento della molla e un altro grafico che indichi come dipende dal tempo. Giustifica le risposte. La mia risposta Attivit 3 (a coppie) Leggete il documento a cui si accede cliccando sul seguente link e precisate i punti che non vi sono chiari dopo esservi confrontati con almeno un'altra coppia. Legge di Hooke Quello che non ci chiaro anche dopo il confronto con altri compagni: Attivit 4 (in piccoli gruppi) Avete visto che, nel moto uniformemente accelerato, la variazione della posizione x e della velocit v rispetto al tempo sono descritte dalle seguenti equazioni orarie: x(t) = 0.5 at2 + v0t + x0 v(t) = at + v0 Che cosa rappresentano le costanti x0 e v0? La nostra risposta Avete anche visto che la seconda legge di Newton, nel caso di oscillazione libera della molla, descritta dallequazione ma = -kx. Prima di andare avanti nella lettura, rispondete alle seguenti domande: a. Quali sono le forze prese in considerazione nel modello? b. Fissati i valori di k e di m lequazione di Newton permette di studiare il moto del sistema, ossia arrivare a scrivere le leggi orarie di posizione, velocit e accelerazione? c. Riprendendo i grafici prodotti nello svolgimento dellattivit 2 che cosa si osserva? Le leggi orarie del moto uniformemente accelerato possono produrre o descrivere quei grafici? d. Quale la differenza esenziale tra le due leggi ma = -mg e ma = -kx? Le nostre risposte Lidea che vogliamo ora perseguire quella di usare le formule che abbiamo, ossia quelle del moto uniformemente accelerato, per approssimare il moto di una molla. In fondo abbiamo visto che le due leggi x(t) = 0.5 at2 + v0t + x0 v(t) = at + v0 valgono per accelerazione costante; nel caso del moto della molla laccelerazione non costante, ma si pu considerare come costante per un intervallo di tempo piccolo. Abbiamo gi utilizzato procedimenti di questo tipo e se lintervallo di tempo sufficientemente piccolo, lerrore commesso sar piccolo. Potremmo allora applicare le formule del moto uniformemente accelerato in quel piccolo intervallo di tempo, ottenendo nuovi valori per la posizione e la velocit e continuare cos, iterando il processo a piacere. Provate a scrivere, prima di andare avanti, la procedura da mettere in atto suggerimento: (quali sono le grandezze da fissare una volta per tutte, ossia i parametri? Precisate poi quei valori che descrivono come parte la molla allinizio del moto; indicate quindi lintervallino di tempo che equivale a fissare quanto dura il fotogramma elementare che consideriamo. Quindi calcolate laccelerazione a partire dallequazione di Newton e usate le leggi orarie del moto uniformemente accelerato per calcolare x1 e v1 .) La nostra idea per la procedura: Attivit 5 (a coppie) cliccate in successione sulle hotword: "massamolla" , per aprire foglio di excel che contiene la simulazione dell'approssimazione dell'oscillazione della molla "spiegazione" per aprire il documento word che spiega come stato costruto il foglio di excel massamolla spiegazione poi rispondete alle seguenti domande 1. eseguite una simulazione sufficientemente lunga da includere alcune oscillazioni complete delle funzioni. Che cosa potete dire del periodo delle curve che rappresentano posizione, velocit ed accelerazione? 2. Osservate il valore dellordinata del massimo delle tre curve. Che cosa osservate in relazione alle condizioni iniziali che avete assegnato? 3. Provate adesso a variare solo il valore della massa (provate per esempio dando m=1 poi m=10 poi m=100). Che cosa osservate nel periodo? 4. Ripetete la procedura del punto 3 variando questa volta il valore di k ed annota che cosa osservate. 5. Utilizzate ora un valore un grande per lintervallo di tempo elementare: che cosa osservate? Ha senso in relazione a quanto avete osservato nella realt? Provate a dare una motivazione di tale fenomeno. 6. Provate a riassumere con parole vostre quale una buona procedura per utilizzare questa simulazione per avere risultati sensati. Le nostre risposte 7. Facoltativo: fissate un valore per k (per esempio k=1) quindi eseguite 6-7 simulazioni variando solo il valore della massa e annotando ogni volta il valore del periodo che osservate. Provate quindi a fare un grafico nel quale mettete in ascissa il valore della massa e in ordinata quello del periodo. Che cosa osservate? Quale dipendenza potrebbe sussistere tra le due variabili? La nostra risposta Se cliccate sulla seguente hotword, potete confrontare le vostre risposte alle domande 1 - 6 con le nostre. Risposte alle domande 1 - 6 Qualche commento finale sulla simulazione. Nella procedura seguita abbiamo approssimato laccelerazione con una costante tuttavia il valore dato a ogni passo allaccelerazione quello che abbiamo ottenuto a sua volta dal valore di x approssimato quindi la vera approssimazione la si fa su x (con rametti di parabola) e poi si riverbera nelle altre grandezze. Riassumendo: siamo partiti da un valore esatto dellaccelerazione (quello iniziale) e poi abbiamo approssimato x e v, ricalcolando laccelerazione e cos via, iterando il procedimento. Avrete anche notato che, nella simulazione, anche con un tempo piccolo, dopo un numero enorme di interazioni, le cose peggiorano. Sapreste dire perch? La nostra risposta Attivit 6 Cliccate sulla seguente parola calda, eseguite l'applet java, osservate ci che accade e precisate eventuali punti non chiari moto circolare uniforme e moto armonico I punti non chiari Attivit 7 (in piccoli gruppi con sensore di posizione) Cercate di riprodurre, con il vostro movimento rispetto a un sensore di posizione, un moto che sia simile a quello di una molla. Quali accorgimenti pensate sia opportuno utilizzare? Provate anche a vedere il grafico della legge oraria della velocit. Le nostre considerazioni dopo l'esperienza Attivit 8 (in piccoli gruppi) Considerate un punto P che si muove di moto circolare uniforme, su una circonferenza di raggio OP unitario, che chiameremo circonferenza goniometrica, e un sistema di assi cartesiani ortogonali con origine nel centro della circonferenza. Quali condizioni bisogna precisare per fare in modo che ogni posizione del punto P sulla circonferenza nel piano cartesiano sia individuata univocamente da un angolo con il centro nella circonferenza? Stabilite tali convenzioni, possiamo dire che le coordinate di P dipendono dallangolo descritto dallo stesso? Giustificate le vostre risposte. Le nostre risposte Per misurare langolo vogliamo fare riferimento non allusuale misura in gradi, (la cui unit di misura la trecentossessantesima parte dellangolo giro o la centesima parte dellangolo retto, a seconda del sistema di misura scelto) ma a una misura che risulta indubbiamente pi comoda perch non necessita dellintroduzione di una nuova unit di misura (il grado), ma consente di misurare gli angoli a partire da misure di lunghezza. Per capire che cosa intendiamo seguite il seguente ragionamento. Considerate una qualunque circonferenza di raggio fissato. Possiamo dire, con le convenzioni stabilite nel precedente esercizio, che a ogni angolo al centro corrisponde uno e un solo arco percorso in senso antiorario dal punto P? Possiamo allora usare la lunghezza dellarco percorso per misurare langolo? Le nostre risposte Che cosa accade se il raggio della circonferenza cambia? Per rispondere aiutatevi considerando due o tre circonferenze concentriche a quella originaria. Usando la lunghezza degli archi, cambiano le misure degli angoli passando da una circonferenza a unaltra? Le nostre risposte Ma se vi ricordiamo che, dato un insieme di circonferenze concentriche di centro O e considerata una semiretta uscente da O che individua su ciascuna di queste circonferenze, con la semiretta delle ascisse positive, uno stesso angolo al centro, il rapporto tra la lunghezza degli archi corrispondenti a tale angolo e i raggi delle circonferenze costante, che cosa potete fare per misurare gli angoli senza ricorrere a una nuova unit di misura (come il grado, per esempio)? Discutetene con i compagni di gruppo e riportate la vostra risposta . La nostra risposta La misura suggerita nel precedente esercizio si dice misura in radianti; il radiante definito come quellangolo i cui lati intercettano su una qualunque circonferenza, centrata nel suo vertice, un arco, che rettificato, lungo come il raggio. Da questa definizione possiamo dire che gli angoli vengono quindi rappresentati con numeri reali puri (senza dover ricorrere a una unit di misura)? Giustificate la risposta. ?P@PAPIPJ/PyPzxPPP8P?P@1Pq P|]PP PP$P'@PP*@P @P @P #P @P P @P "P% @P$ P3 @P4 P5 P; PF P   PPFPLPjP~R@P@P@P@PC@P'@P(@P)@P*@P2@P4<@P5@P8@P9@P:@P;@P>@P?@P@@PA@PB@PC@PD@PH@PJ@PM@PN@PO$@Ps@Pt@Pu@Px@Py@Pz@P|P@P@P@P@P@P@P@P@P@PS@PW@PY@P[@P^@P`@Pd@Pf@PjP@PQ@PR@PS@PT@P\@P^<@P_@Pb@Pc@Pd@Pe@Ph@Pi@Pj@Pk@Pl@Pm@Pn@Pr@Pt@Pw@Px@Py @P@P@P@P@P@P@P!P@P @P P PPP  P  )P @PP@PsP @PnP  P @P*PH@P @P @P @P!@P!P!@P !@P!P!P"P"'""P"P"P" P".P #@P$*P2$@P4$PC$ PM$Pc${@P$@P$W@PQ%P&@P&P&E@P*P*@P/+PB+0@Pr-P-@Pp"Arial "Arial"Arial"Arial"Arial"Arial"Arial"ArialTimes New Roman?@@AIJyz?@pqqrEFWXYZ$%)**++,,--..//00112233445@ A                                                        ' ( " # # $ 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 : : ; P Q   LMMNNOOPPQQRRSSTTUUVVWWXXYYZZ[[\\]]^^_}~&'@AOP{| !h i   e f h ii j| }} ~~     PQjkyz|}    w xG H                 q rr s          HI  F!G!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" # # # #$$$$2$3$3$4$5$6$6$7$7$8$8$9$9$:$:$;$;$<$<$=$=$>$>$?$?$@$@$A$A$B$B$C$a$b$b$c$&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&((********************* * *!*!*"*"*#*#*$*$*%*%*&*&*'*'*(*(*)*-+.+.+/+A+B+B+C+C+D+D+E+E+F+F+G+G+H+H+I+I+J+J+K+K+L+L+M+M+N+N+O+O+P+q-r-------------------------------------C/D/D/d p@ P !$`'d p@ P !$`'d p@ P !$`'dL  \ l0!#&dL  \ l0!#dL  \ l0!#hdhL  \ l0!#hdhL  \ l0!#dL  \ l0!#hLdhL  \ l0!#dL  \ l0!# d L  \ l0!#&dl0!#&|)@,/14P7dehL  \ l0!Phttp://www.matematica.it\paola\Terzoanno\Moto armonico\questionarioiniziale.doc Ghttp://www.matematica.it\paola\Terzoanno\Moto armonico\legge hooke.doc Hhttp://www.matematica.it\paola\Terzoanno\Moto armonico\massa molla2.xls ]http://www.matematica.it\paola\Terzoanno\Moto armonico\Spiegazionecostruzionefoglioexcel.doc Qhttp://www.matematica.it\paola\Terzoanno\Moto armonico\Scheda 2 bi1soluzione.doc@http://ww2.unime.it/dipart/i_fismed/wbt/ita/fkw/shm/shm_ita.htmArialArialArialArialArialArialArialArialTimes New Roman%La nostra risposta Perch secondo voi si sceglie questo sistema di misurazione rispetto a quello in gradi? Quali sono i vantaggi? Esiste una relazione che lega i due sistemi di misurazione? Per rispondere, considerate qualche caso particolare partendo dalla circonferenza di raggio unitario (perch consideriamo la circonferenza di raggio unitario?), per esempio chiedetevi quanti radianti corrispondono a 360, a 180, a 90, a 270, a 30 in generale, quale relazione lega fra loro la misura in gradi x di un angolo ai radianti (chiamiamo y il numero che indica i radianti) Le nostre risposte Chiediamoci ora che cosa accade allascissa e allordinata di P quando P si muove sulla circonferenza. Come descrivereste il moto dellascissa Q e dellordinata Qdi P? Cercate di tracciare uno schizzo di come variano rispetto al tempo lascissa e lordinata di P (se riuscite, determinate qualche valore, per esempio per t= 0 [s], t= p/6, t= p /3, t=p /2, t=, ) La nostra risposta Attivit 9 (a coppie) Provate a costruire un foglio di Cabri che generi il grafico delle variazioni dellascissa e dellordinata di P, al variare dell'angolo che individua la posizione di P, quando P si muove sulla circonferenza (qualche possibile suggerimento: mostrate gli assi; prendete una circonferenza di centro l'origine e raggio 1, scegliendo l'unit di misura in modo tale che la circonferenza non sia troppo piccola; prendete ora un punto P su di essa e considerate le sue proiezioni sugli assi; mettete le coordinate sulle proiezioni .... insomma, avete capito?) Eventuali problemi incontrati nella costruzione del file di Cabri Attivit 10 (in piccoli gruppi) Da quali parametri dipendono le coordinate del punto P scelto sulla circonferenza? I moti di P, Q e Q' (proiezioni di P sull'asse x e y) sono indipendenti tra loro o esiste qualche relazione che li lega? Giustificate le vostre ipotesi e congetture. Le nostre risposte Quando la circonferenza su cui si sceglie il punto P ha raggio unitario, l'ordinata di tale punto una funzione dell'angolo x (o dell'arco) descritto da P che viene detta "seno" e il valore che assume in x viene indicato con "sen(x)" o "sin(x)"; l'ascissa invece viene detta "coseno" e il valore che assume in x viene indicato con "cos(x)". Il rapporto tra sin(x) e cos(x), che rappresenta la pendenza del raggio OP nel sistema di riferimento scelto viene detta "tangente di x" e si indica con "tan (x)" o con "tg(x)". Attivit 11 (individuale) Apri ora Graphic Calculus e il modulo "Trig.graphs" (grafici di funzioni trigonometriche) e osserva come vengono in esso rappresentate le funzioni sin(x), cos(x) e tan(x). Eventuali problemi che ho incontrato Attivit 12 (individuale) Per ripassare e sistemare le varie conoscenze apprese sul moto armonico e sulle funzioni armoniche (seno e coseno), leggi attentamente i materiali ed esegui gli esercizi che si trovano al sito accessibile cliccando sulla seguente hotword il moto armonico Eventuali punti non chiari di quanto ho letto sul sito Attivit 14 (in piccoli gruppi) Come pensate che siano legati fra di loro i grafici di posizione, velocit e accelerazione in un moto armonico? Giustificate le risposte Le nostre risposte Attivit 15 (in piccoli gruppi) Aiutandovi anche con Graphic Calculus o con TI - InterActive! cercate di capire quale la derivata di a) y = sin (x) b) y = cos(x) Giustificate le risposte Le nostre risposte Attivit 16 (in piccoli gruppi) Come pensate sia possibile passare dal grafico di y= sin(x) al grafico di y= 3 + sin(x) e, in generale al grafico di y = k + sin (x)? Giustificate la vostra risposta La nostra risposta Attivit 17 (in piccoli gruppi) Come pensate sia possibile passare dal grafico di y= sin(x) al grafico di y= 3*sin(x) e, in generale al grafico di y = k*sin (x)? Giustificate la vostra risposta e verificate la sua correttezza aiutandovi con TI-InterActive! La nostra risposta Attivit 18 (in piccoli gruppi) Come pensate sia possibile passare dal grafico di y= sin(x) al grafico di y= sin(x+p/3) e, in generale al grafico di y = sin (x+k)? Giustificate la vostra risposta e verificate la sua correttezza aiutandovi con TI-InterActive! La nostra risposta Attivit 19 (in piccoli gruppi) Come pensate sia possibile passare dal grafico di y= sin(x) al grafico di y= sin(3x) e, in generale al grafico di y = sin (kx)? Giustificate la vostra risposta e verificate la sua correttezza aiutandovi con TI-InterActive! La nostra risposta Attivit 20 (in piccoli gruppi) Come pensate sia possibile passare dal grafico di y= sin(x) al grafico di y= k*sin(a*x+b) + h? Giustificate la vostra risposta e verificate la sua correttezza aiutandovi con TI-InterActive! La nostra risposta Attivit 21 (individuale) Come pensi sia possibile passare dal grafico di y= cos(x) al grafico di y= k*cos(a*x+b) + h? Giustifica la tua risposta e verifica la sua correttezza aiutandoti con TI-InterActive! La mia risposta Scheda 2. Elementi di goniometria (Si prevedono circa 10 ore di lavoro in classe dedicate a chiarire parti non comprese dagli studenti nello studio a casa). Attivit 22 (individuale, a casa, con eventuali confronti con altri compagni e sistematiche richieste di spiegazioni in classe all'insegnante) Per un percorso sistematico di goniometria (valori notevoli, angoli e archi associati, formule goniometriche, equazioni e disequazioni gonimetriche, con relativi esercizi) cliccare sulla seguente hotword goniometria Eventuali parti ed esercizi non chiari Scheda 3. Elementi di trigonometria (Si prevedono circa 15 ore di lavoro in classe dedicate a chiarire parti non comprese dagli studenti nello studio a casa). Attivit 23 (individuale, a casa, con eventuali confronti con altri compagni e sistematiche richieste di spiegazioni in classe all'insegnante) Per un percorso sistematico di trigonometria con esercizi associati cliccare sulla seguente hotword trigonometria Eventuali parti ed esercizi non chiari Scheda 4. Alcune applicazioni allo studio dei moti (Si prevedono circa 4 ore di lavoro in classe dedicate a chiarire parti non comprese dagli studenti nello studio a casa). Attivit 24 (individualmente, a casa, con richieste di chiarimenti in classe all'insegnante) Con l'introduzione delle funzioni seno e coseno possibile generalizzare il problma dl moto di un proiettile, affrontato nella lezione sul moto uniformemente accelerato. Se clicchi sulla seguente hotword hai la possibilit di seguire una lezione sul problema del moto di un proiettile, con alcuni esercizi proposti. proiettile Le mie risposte agli esercizi ed eventuali richieste di chiarimenti Attivit 25 (in piccoli gruppi, in classe) Siete finalmente in grado di determinare le leggi orarie dell'ascissa e dell'ordinata di un punto che si muove di moto circolare uniforme. Come? E per le equazioni parametriche di un'ellisse? La nostra risposta La nostra risposta dopo il confronto con altri gruppi La nostra risposta dopo gli eventuali chiarimenti dell'insegnante Attivit individuale a casa Esegui i seguenti esercizi che riguardano le equazioni parametriche di una circonferenza e di un'ellisse (clicca sulla seguente hotword): esercizi Attivit 26 (facoltativa, di approfondimento, a casa, con eventuali richieste di chiarimento in classe o in orario extracurricolare all'insegnante) Cliccando sulla seguente hotword potete scaricare gli appunti di alcune lezioni tenute dal prof. Michele Impedovo in una classe di quarta liceo scientifico. Provate a leggere questi appunti e a svolgere alcune delle attivit proposte. Eventualmente provate a chiedere spiegazioni e aiuto al vostro insegnante. approfondimento Eventuali richieste di spiegazioni Attivit 27 (individuale, a casa) Alcuni esercizi di consolidamento li puoi trovare cliccando sulla seguente hotword: alcuni esercizi di consolidamento Eventuali richieste di spiegazioni Attivit 28 (individuale, facoltativa, di sistemazione, a casa) Una sistemazione completa della goniometria e della trigonometria studiate (quindi un vero e proiprio manuale di trigonometria) lo si pu trovare cliccando sulla seguente hotword (le formule sono per scritte in modo difficile da leggersi) corso completo di trigonometria Eventuali richieste di spiegazioni Attivit 29 (a casa, a coppie o anche individuale) Cliccando sulla seguente hotword, potrete coollegarvi a un sito (in inglese) che propone diverse applet java relative alla goniometria e alla trigonometria. Esploratele, cercando di capire quello che propongono. Applet java per la trigonometria Eventuali richieste di spiegazioni Attivit 30 (individuale, facoltativa, di approfondimento, a casa) Per una presentaizone storica della trigonometria, puoi cliccare sulla seguete hotword: breve storia della trigonometria Eventuali richieste di spiegazioni Attivit 31 (individuale, a casa) Un test di autovalutazione costruito dal prof. Walter Maraschini e che abbiamo scaricato dal sito http://www.maraschini.it/materiali.html, puoi svolgerlo cliccando sull'hotword seguente (sono previsti 100 minuti per affrontarlo; alla fine del file trovi le soluzioni) testautovalutazione Esercizi per l'ulteriore consolidamento Esempi di verifiche =#t P=@PQPdZ@P@P@P@P@P@P @PP@PP@P P  PP)@P?AP@P PP@PP@P P @P $P @P P P P   P 6P P P' P4 P P P P P P P P PPP PPPP PkPQPRPP P P PP P' P2P PP3 P?PPP7"PY|P PRP2 =>P?*PiP$P~P( P3P +,P.)PWPt3PzP! P-P  PDP P P%PPP&6P\ PgAP PPPX abPf PrP3BCPE"Pg Pp P|lP!  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