FLATlandia

6 - 20 Aprile 1998

Dato un tetraedro regolare di spigolo s, calcolarne l'altezza h.
Se c la circonferenza circoscritta ad una faccia del tetraedro, esiste un poligono regolare inscritto in c il cui lato sia uguale ad h?
Giustificare la risposta.
I ragazzi della scuola media inferiore possono assegnare a s un valore numerico.

Soluzioni

Care ragazze e cari ragazzi,

questo mese abbiamo ricevuto quindici risposte provenienti da undici scuole di cui tre sono scuole medie inferiori. Una sola risposta contiene una affermazione errata (le corde non sono proporzionali agli archi da esse sottesi!), tutte le altre sono state accettate anche se risolte in maniera un po' complicata e se in alcune permangono ancora imprecisioni nella esposizione e/o carenze nelle motivazioni. C'e' chi confonde l'uso dei termini "inscritto" e "circoscritto" e chi cita Euclide anziche' Pitagora!

Vi invitiamo inoltre a non usare caratteri di scrittura fantasiosi o di formato "gigantesco": oltre a rendere meno leggibili le risposte rendono pi complicata la lettura dei vostri file.

Le scuole che hanno partecipato sono:
- Liceo scientifico "G. Ulivi" Parma (tre risposte);
- Liceo scientifico "P. Lioy" Vicenza;
- Liceo scientifico tecnologico "ITI A. Cesaris" Casalpusterlengo (LO) (tre risposte);
- Liceo scientifico "B. Varchi" Montevarchi AR;
- Liceo scientifico "Fanti" Carpi MO;
- Liceo scientifico "G.B Scorza" CS
- ITAS "F. Eredia" Catania;
- ITG "Rondani" Parma
- SM "L. Benati" di Roverbella, sezione staccata di Marmirolo (MN);
- SM "Testoni Fioravanti" Bologna;
- SM "Salvo D'Acquisto" Bologna.

Ecco l'elenco delle soluzioni scelte:
- "Laboratorio Metamatematica", Liceo Scientifico "B. Varchi";
- Federica Mazzarelli, Myriam Piluso, Antonio Guaraschi, Fabiola Forino, 2G, Liceo Scientifico "G.B. Scorza";
- Stefano Pugnetti, 2F, Liceo Scientifico "G. Ulivi";
- Spampinato Riccardo, Lo Certo Luigi, 2C, ITAS "Filippo Eredia";
- C. Falcioni, R. Mengoli, A. Paccapelo, I. Rizzo, J.Zingoni, 3C SM "Testoni Fioravanti";
- Ludovico Cavedon, 2Es, Liceo Scientifico "P. Lioy", Vicenza;
- Classe 3D, Scuola Media "Benati", Roverbella sez. staccata di Marmirolo (CN).

Nota:
Nelle soluzioni abbiamo messo nelle parentesi quadre le correzioni al testo e nelle doppie quadre le parti di testo superflue.

Riportiamo di seguito le ultime due soluzioni menzionate essendo le uniche giunte in formato testo; per le altre  utilizzare il collegamento ipertestuale

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Ludovico Cavedon - 2Es
Liceo Scientifico "P. Lioy" - Vicenza

(Abbiamo aggiunto qualche parentesi tonda per una pi corretta lettura del testo)

***L'altezza del tetraedro e': ((radq 6) /3) *s.
In un tetraedro regolare l'altezza cade nel punto O, centro della circonferenza circoscritta e intersezione delle mediane, bisettrici, altezze [[e assi]] della base (essendo questa un triangolo equilatero). Poiche' il baricentro divide le mediane in due parti, una il doppio dell'altra, si ha che:

- la mediana AM = ((radq 3)/2)*s -AO = (2/3)*AM = ((radq 3)/3)*s

Definito V come vertice opposto alla base, si applica il teorema di Pitagora al triangolo AVO:
- h = radq(s^2 - AO^2) = radq(s^2 - (3/9)*s^2) = radq(s^2 - (1/3)*s^2) = radq((2/3)*s^2) = ((radq 2)/(radq 3))*s = ((radq 6)/3)*s

***Esiste un poligono, un quadrato, inscritto in c ed il cui lato uguale ad h. Il diametro della circonferenza c e' AO*2,  essendo quest'ultimo il raggio:
- diametro = AO*2 = (2/3)*(radq 3)*s

Inscrivendo un quadrato in c, questo poligono ha il diametro come diagonale, percio', definendo [indicando con] l il lato:
- l = diametro/(radq 2) = ((2/3) *(radq 3)/(radq 2))*s=
= [(2/3)*(radq 3)*(radq 2)/2]*s = ((radq 6)/3)*s

Da ci risulta che l = h.

 

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Classe 3D, Scuola Media "Benati"
Roverbella, sezione staccata di Marmirolo (MN
)
(Abbiamo aggiunto qualche parentesi tonda per una pi corretta lettura del testo)

Il tetraedro e' formato da quattro triangoli equilateri, in figura abbiamo rappresentato lo sviluppo sul piano, con l'insegnante di Ed. Tecnica abbiamo realizzato un modellino di cartoncino avente lo spigolo di 10 cm, dopodiche' tra calcoli e osservazioni siamo pervenuti alla seguente conclusione.

L'altezza di un triangolo equilatero uguale all'apotema del tetraedro, essa divide lo spigolo in due parti uguali formando due triangoli [con angoli interni] di 30 - 60 - 90. L'apotema del tetraedro e' il cateto maggiore quindi a=s/2*radq (3).

Il raggio r della circonferenza inscritta, del [nel] triangolo equilatero di base, 1/3 della sua altezza, quindi r = s/6*radq(3) (il baricentro divide l'altezza in due parti, una il doppio dell'altra).
L'apotema, l'altezza del tetraedro e il raggio della circonferenza inscritta sono rispettivamente ipotenusa, cateto maggiore e cateto minore di un triangolo rettangolo, dunque applicando il teorema di  Pitagora si calcola l'altezza h = s/3*radq(6).

E' possibile inscrivere in c un quadrato avente il lato uguale ad h. Abbiamo osservato che la diagonale del quadrato e' uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo equilatero, ci siamo calcolati d in funzione di s, risulta d = 2*(s/3)*radq3 e infine il lato del quadrato dividendo d per radq(2) verificando, per via algebrica, che l = (s/3)*radq(6).

 


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