Soluzioni dicembre 1997

FLATlandia

1 - 15 Dicembre 1997

Dato un angolo XVY e un segmento di lunghezza r:

a) costruire la circonferenza di centro O con raggio r tangente ai lati dell'angolo in R ed S giustificando il procedimento seguito;

b) detto T un punto sull'arco RS dalla stessa parte di V, condurre la retta tangente alla circonferenza in T che incontra i lati dell'angolo in A e B; se l'angolo XVY ha un'ampiezza di 60° calcolare, in funzione di r, il perimetro del triangolo AVB e studiare il comportamento del perimetro al variare di T su RS.

E' possibile rispondere alla sola prima parte del quesito; vi invitiamo però a misurarvi anche sulla seconda!

Soluzioni

Sono pervenute in tutto 13 risposte di cui due scaturite da un lavoro che ha coinvolto tutta la classe (3D scuola media "Benati" di Roverbella, Mantova e 2X ITI "E. Fermi" di Mantova).

Il problema richiedeva nella prima parte una costruzione da eseguirsi con gli strumenti tradizionali o con il software Cabri e una dimostrazione nella seconda parte.

In nessuna delle risposte pervenute il problema e' stato risolto in modo esauriente in entrambi i quesiti proposti; molti hanno affrontato solo la prima parte inviando un figura in formato Cabri senza descrizione o con commenti approssimativi.

Encomiabile lo sforzo prodotto dai ragazzi delle medie inferiori che, non avendo ancora gli strumenti per fare una dimostrazione, hanno affrontato la seconda parte procedendo in modo sperimentale e analizzando i casi particolari; ricordo pero' a questi ragazzi che se in un triangolo un lato si annulla, il triangolo degenera in due segmenti sovrapposti e il perimetro e' la loro somma.

Segnaliamo alcune risposte:

Hanno risolto entrambi i quesiti:
Valentina Panarese e Valentina Palmieri Scuola Media "E. Panzacchi" di Ozzano Emilia (Bologna), con una imprecisione nella prima parte che nel testo e' segnalata in rosso fra parentesi quadre;
Alberto Cornia, Liceo Scientifico "Fanti" di Carpi (Modena); anche questa risoluzione presenta una imprecisione nella prima parte.

Pur non essendo accettabile il ricorso alla misura utilizzato nella costruzione, segnaliamo anche il lavoro della classe 3D Scuola Media "Benati" di Roverbella (Mantova) per aver affrontato entrambi i quesiti.

Hanno risolto soltanto il primo quesito:
La classe 2X ITI "Fermi" di Mantova;
Valenti Enrico, Vigna, Fabio Vernazza, Pascilupo, Mora e Bordoni dell'ITG "Rondani" di Parma.

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Valentina Panarese & Valentina Palmieri
SMS Enrico Panzacchi
Ozzano dell'Emilia
Bologna

a) vedi figura [La costruzione inviata presenta una imprecisione iniziale: il raggio andava prima assegnato e poi costruito sulla perpendicolare al lato dell'angolo]

b) Per via sperimentale abbiamo rilevato che al variare di T su RS il perimetro rimaneva costante. Abbiamo quindi fatto coincidere T con la bisettrice [con l'intersezione fra la bisettrice e la circonferenza] e risolto la relazione:
TO=1/2 VO (il triangolo VOS ha gli angoli di 30, 60, 90 quindi e' meta' triangolo equilatero con SO=TO)

VT=r

VAB e' equilatero con VA=VB=2*r*radq 3 / 3

Il perimetro risultera:

2 * r * radq 3 / 3 * 3 = 2 * r * radq 3

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Alberto Cornia
Liceo scientifico "M. Fanti" - Carpi
Classe 2B

A) Traccio la parallela al lato VX a distanza r dal lato stesso [La costruzione inviata presenta una imprecisione iniziale: il raggio andava prima assegnato e poi costruito sulla perpendicolare al lato
dell'angolo]. L'intersezione O fra questa retta e la bisettrice dell'angolo e' il centro della circonferenza richiesta. Infatti il punto O e' equidistante dai due lati e tale distanza vale r per costruzione. La circonferenza richiesta ha raggio r e centro O.

B) I segmenti VS e VR valgono entrambi r radq 3 , in quanto i triangoli OVS e OVR sono la meta' di un triangolo equilatero di lato OV = 2r e altezza rispettivamente VS e VR. Osserviamo che AR = AT e
TB = BS per il teorema delle due tangenti, per cui VA + AT = VR = r radq 3 e VB + BT = VS = r radq 3 .
Il perimetro del triangolo quindi vale sempre 2r radq 3 , indipendentemente dalla posizione di T.

Figura Cabri 1.7

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Classe 3D
Scuola media "L. Benati"
Roverbella (Mantova)
Sede staccata di Marmirolo

a) .......

b) Il perimetro del triangolo AVB al variare di T su RS resta sempre uguale, cioe' i triangoli sono isoperimetrici.
Il 2p di AVB è uguale a 2 radq 3r.
L'abbiamo calcolato considerando il caso in cui T appartiene alla bisettrice, in quanto AVB risulta essere un triangolo equilatero con altezza VT = r.
Quando T coincide con R, il triangolo AVB non esiste più perche' VA coincide con VR.

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Classe 2X
ITIS "E. Fermi"
Mantova

N.B. I comandi di Cabri sono indicati tra parentesi quadra, non sono invece stati inseriti i comandi che danno un nome agli oggetti.

Giustificazione del procedimento seguito:
una circonferenza tangente ai lati dell'angolo ha il centro sulla bisettrice dell'angolo ed il raggio, nei punti di tangenza, e' perpendicolare ai lati.

Costruiamo angolo e segmento dati: l'angolo XVY [Creazione/punto (ripetuto 3 volte), Creazione/segmento (per 2 volte)] ed il segmento MN di lunghezza r [Creazione/segmento]. Tracciamo poi la bisettrice b dell'angolo XVY [Costruzione/bisettrice].

Sia X' una parallela, passante per un punto qualsiasi R [Creazione/punto], al lato VX dell'angolo dato
[Costruzione/parallela]. Trasportiamo il segmento dato MN sulla retta X'. Per fare cio' tracciamo il segmento RM [Creazione/segmento] e costruiamo il parallelogramma RMNN' [Costruzione/parallela (per R a MN, e per N a RM), Costruzione/intersezione di 2 oggetti (per determinare N')]; tracciamo la circonferenza con centro in R e raggio RN' [Creazione/circonferenza centro/punto] poi la perpendicolare per R a X' [Costuzione/perpendicolare] e chiamiamo O uno dei 2 punti di intersezione tra la circonferenza e la retta perpendicolare [Costruzione/intersezione di 2 oggetti].

Diciamo che O e' il centro della circonferenza cercata e che OR e' il suo raggio perche' per costruzione e' isometrico ad MN [Creazione/circonferenza centro/punto]. Tracciamo per O la parallela b' alla bisettrice b [Costruzione/parallela]; il vertice V' dell'angolo cercato sara' percio' il punto d'intersezione di b' con X' [Costruzione/intersezione di 2 oggetti].

Resta da costruire il secondo lato dell'angolo V'Y' [Costruzione/retta parallela] che e' la parallela a VY passante per V', e il secondo punto di tangenza S che e' l'intersezione tra V'Y' e la perpendicolare ad esso passante per O [Costruzione/retta perpendicolare, Costruzione/intersezione di due oggetti].

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ITG Rondani
Parma

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