FLATlandia

4 - 18 Maggio 1998

Soluzioni

Per il problema di Maggio 1998 abbiamo ricevuto dieci risposte provenienti da nove scuole di cui due sono scuole medie inferiori.
Due risposte sono errate in quanto contengono affermazioni che suppongono gia' l'appartenza di E alla retta CG (non e' possibile affermare che gli angoli CEA e BEG sono congruenti "perche' opposti al vertice" se i punti C, E, G non si trovano gia' sulla stessa retta; non si puo' considerare il triangolo HGC supponendo che il lato CG contenga gia' il punto E).
Altre due risposte non sono state accettate: una, pur essendo interessante perche' utilizza la geometria delle trasformazioni, purtroppo non giustifica in modo esauriente l'appartenenza di G alla retta EC; l'altra perche' utilizza inutilmente lunghi e pesanti calcoli algebrici anziche' individuare la proprieta' geometrica del quesito posto nel punto b) del problema.
Le rimanenti risposte sono state accolte anche se in alcune vi sono delle imprecisioni.

Abbiamo scelto di riportare la risposta del gruppo B della classe 3D, Scuola Media "Benati" di Roverbella sulla prima parte del problema e la seconda parte della risposta inviata da due ragazzi della 2C del Liceo scientifico "G.B.Scorza" di Cosenza.

Nota:
Nelle soluzioni abbiamo messo nelle parentesi quadre le nostre aggiunte o correzioni al testo originale e tra doppie quadre le parti di testo superflue.

Le scuole che hanno partecipato sono:
ITIS "A. Cesaris", Casal Pusterlengo (LO);  
Liceo scientifico  "G.B. Scorza", Cosenza;
Classe 3°D Scuola Media Benati,  Roverbella  sez. staccata di Marmirolo (CN);
Scuola Media "Testoni-Fioravanti",  Bologna;
ITG "G.Rondani", Parma;
Liceo Scientifico "P. Lioy", Vicenza;
Liceo Scientifico "Ulivi", Parma;
Liceo scientifico "B. Varchi", Montevarchi AR;
Liceo scientifico "Galilei", Adria RO.

Ecco le soluzioni scelte:

S.M. "Benati" di Roverbella, s.s. di Marmirolo (MN), Classe 3D Gruppo B

Prima parte:
Abbiamo inscritto il quadrato ADFE in questo modo:
Si traccia la bisettrice dal vertice A , essa interseca l'ipotenusa nel punto D. Si mandano le perpendicolari dal punto D ai lati CA e AB, ottenendo rispettivamente i punti F ed E, il quadrilatero AEDF e' un quadrato perche' ha 4 angoli retti e la diagonale e' bisettrice (per costruzione). L'altro quadrato e' stato costruito tracciando da A la parallela (s) ad FE e da B la parallela (t) ad AD.
Prolungando il alto AC dalla parte di A si indica con H il punto d'intersezione tra prolungamento e t. Si manda per B la perpendicolare ad AB e si indica con G l'intersezione tra s e la perpendicolare. ABGH è un quadrato perche' ha le diagonali perpendicolari (essendo parallele alle diagonali di AEDF) e [bisettrici degli] angoli [HAB e ABG] retti per costruzione.

Seconda parte:
I punti C,G,E appartengono tutti e tre alla stessa retta cioe' sono allineati.

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Gabriele Zaccaria, Giorgio Tesoniero
classe 2°C- Liceo Scientifico "G.B.SCORZA" - Cosenza

Si sa che gli angoli DEC e ECA sono uguali perche' alterni interni rispetto alle parallele AC ed ED tagliate dalla trasversale EC. Per comodita' si indica l'angolo DEC con a.
Se l'angolo DEC e' a, l'angolo AEC e' uguale all'angolo [[retto]] AED-a e pertanto esso e' 90°-a.
I triangoli EDB e ACB sono simili perche' sono retti e hanno l'angolo ABC in comune. Quindi deduciamo che AC:ED=AB:EB=CB:DB. I triangoli BGE e ACE sono simili. [Infatti] si prende in esame la proporzione AC:ED=AB:EB. Si sa che ED=EA e AB=GB perche' lati di quadrati.
Sostituendo alla proporzione presa in esame i segmenti EA e GB al posto rispettivamente dei segmenti ED e AB si ottiene: AC:EA=GB:EB.
Cosi' trovati i due lati proporzionali e gli angoli uguali EAC ed EGB perche' retti, si dimostra che i triangoli BGE e ACE sono simili e quindi avranno gli angoli ordinatamente uguali, in particolare sara' BEG=CEA=90°-a. Così si dimostra che i punti G, E, C sono allineati perche' l'angolo GEC e' piatto. Infatti esso e' costituito dalla somma dei seguenti angoli:
DEC(a)+BEG(90°-a)+BED(90°) = 180° [DEC+BEG+BED = a + 90°-a + 90° = 180°] 

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