FLATlandia

3 - 17 Novembre 1997

Tre rette concorrono in uno stesso punto O. Costruire un triangolo che abbia le mediane relative ai suoi lati su tali rette.
Giustificare la costruzione.

Soluzioni

Abbiamo ricevuto in tutto 18 risposte di cui cinque corrette e complete e due corrette nella costruzione, ma carenti nella giustificazione della figura ottenuta.

Queste le scuole che hanno partecipato:
I.T.G. Rondani, Parma
I.T.I. Euganeo, Este (PD)
S.M. Jussi San Lazzaro (BO)
L. S. Lioy, Vicenza
S.M. Panzacchi, Ozzano (BO)
L. S. Fanti, Carpi (MO)

Dalle scuole medie inferiori sono giunte complessivamente 7 risposte, purtroppo nessuna accettabile: una costruzione ottenuta ricercando per tentativi un punto medio, ricorrendo alla misura, non ha validita' generale, basta muovere un punto base e tutto crolla.
Forse questo quesito era difficile per loro e anche per gli allievi del primo anno di scuola superiore; coraggio ragazzi, vi auguro un miglior risultato con i prossimi problemi.

I ragazzi dell'I.T.I. Euganeo di Este chiedono se in questo progetto sono previsti premi: non facciamo classifiche di vincitori ne' vinti perche' pensiamo che sia importante partecipare, provare e, qualche volta, riuscire in una attivita' che richiede qualche conoscenza accompagnata da un po' di fantasia e, perche' no, di fortuna nel fare gli errori giusti!

Attraverso le risposte abbiamo scoperto le molteplici possibilita' di risoluzione offerte da questo problema, superiori a quelle da noi immaginate (infatti ne avevamo individuate due, diverse da tutte quelle pervenute! In una abbiamo ottenuto il triangolo conducendo due parallele dal punto medio di un segmento scelto arbitrariamente su una delle tre rette).

Pubblichiamo le soluzioni di:

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Siano a, b, c le tre rette. Si sceglie un punto arbitrario, ad esempio A sulla prima retta, e si individua il suo simmetrico rispetto ad O, che chiamiamo A'. Da A' mandiamo le parallele alle altre due rette che intersecano in B e C rispettivamente le rette b, c. Il triangolo ABC cosi' costruito risolve il problema proposto.
Infatti il quadrilatero OCA'B è un parallelogramma, e le sue diagonali si dividono vicendevolmente a metà. Se chiamiamo M il punto d'incontro delle diagonali, sara' BM=MC (quindi M e' punto medio del lato BC, e dunque AM e' una mediana) e OM=MA' = 1/2 OA (per cui O e' il baricentro del triangolo ABC).
Dato che si può scegliere in infiniti modi il punto di partenza, ci sono infiniti triangoli che risolvono il problema. Tuttavia, una volta scelto il punto iniziale, il triangolo risulta univocamente determinato.

Alberto Cornia
Liceo scientifico "M. Fanti" - Carpi
Classe 2B

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Date 3 rette r,s,t che si intersecano in un punto O, prendere un punto qualsiasi A su r.
Da A tracciare la parallela a t, che interseca s nel punto D, nel quale passa la parallela a r che determina con t il punto B: si ottiene così il parallelogramma ADOB (poiche', per costruzione ha i lati a due a due paralleli). Ripetere lo stesso dal punto B ottenendo E su r, C su s ed il parallelogramma BECO.
Prendendo ora in esame il triangolo ABC, il lato AB e la retta s sono diagonale del parallelogramma ADBO e quindi si bisecano; percio' s passa nel punto medio di AB ed e' mediana relativa ad AB del triangolo ABC. Allo stesso modo, CB e r si bisecano, e r e' mediana relativa a CB di ABC.
Poiche' in un triangolo le mediane si intersecano sempre in uno stesso punto, quella relativa a CA deve passare obbligatoriamente per O (e per B essendo una mediana). Di conseguenza t e' mediana di AC perche' O e B sono suoi punti, e per due punti passa una ed una sola retta.

Ludovico Cavedon - 2 E
Liceo Scientifico "P. Lioy" - Vicenza

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In questa dimostrazione indichero' con lettere maiuscole i punti e con lettere minuscole le rette.
Traccio le tre rette a,b,c. Traccio la retta d parallela ad a e chiamo D l'intersezione tra c e d. prendo D come centro di simmetria e traccio la retta f, simmetrica a b rispetto a D; chiamo A l'intersezione tra f e c, E l'intersezione tra d ed f e F l'intersezione tra b e d. Congiungo A con F e allungo il segmento fino ad arrivare alla retta a; chiamo B il punto di intersezione tra il prolungamento del segmento AF e la retta a.
Esamino i triangoli AFE e OFB: essi hanno: AE congruente a FO perche' i loro estremi sono rispettivamente simmetrici rispetto a D. L'angolo FAE e l'angolo BFO sono congruenti perche' sono corrispondenti rispetto alle rette f e b (parallele per costruzione) tagliate da trasversale g.
Inoltre gli angoli FBO e AFE sono congruenti perche' angoli corrispondenti di rette parallele (d parallela ad a per costruzione) tagliate da trasversale g.
I due triangoli esaminati sono congruenti per il secondo criterio di congruenza generalizzato, in particolare AF e' congruente a FB. Da B traccio la retta h, parallela a b (chiamo G l'intersezione tra h e c) e poi la retta i, passante per G e parallela ad a. Chiamo C l'intersezione tra i e b.
Si viene a formare il parallelogramma OBGC (e' un parallelogramma a perche' ha i lati a due a due paralleli); per proprieta' dei parallelogrammi le diagonali si bisecano, in particolare BC e tagliata in due dalla retta c.
Se noi costruiamo il triangolo ABC, esso ha la mediana rispetto ad AB che appartiene alla retta b perche' C appartiene a b e perche' il segmento AB e' diviso in due parti uguali da b.
Inoltre il triangolo ha la mediana relativa al lato BC che appartiene a c, perche' A appartiene a c e perche' c divide BC in due parti uguali (vedere sopra).
Poiche' in un triangolo le mediane concorrono in uno stesso punto, essendo nel nostro triangolo questo punto individuato dal punto O (come intersezione tra b e c), e passando la retta a per B, la mediana relativa a AC appartiene ad a perche' per due punti distinti passa una sola retta: quindi abbiamo dimostrato che il triangolo ABC ha come mediane le tre rette di partenza c,b,c.

Manuel Pigato 2 E
Liceo Scientifico "P.Lioy" - Vicenza

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