FLATlandia

Ottobre 1999

Il testo del problema:

Dato un quadrato, costruire un rettangolo in esso inscritto con i lati paralleli alle diagonali del quadrato.
Consideriamo ora la famiglia dei rettangoli aventi le caratteristiche richieste:

a) qual è la relazione fra i loro perimetri?;
b) qual è il rettangolo di area massima? Qual è il rapporto fra la sua area e quella del quadrato assegnato?

Motivare le risposte

Premessa:

Il problema proponeva innanzi tutto di determinare una costruzione che, anche se semplice, doveva essere descritta. Seguivano poi due quesiti e il calcolo di un rapporto.
Pochi hanno descritto la costruzione e non tutti hanno motivato le risposte ai quesiti. Le soluzioni inviate dagli allievi di scuola elementare e di scuole medie, anche se carenti nelle giustificazioni, testimoniano comunque un lodevole impegno.
Fra le risposte giunte dalle scuole superiori alcune non sono accettabili per la completa mancanza di giustificazioni (una di esse inoltre esamina solo casi particolari).
Anche fra le soluzioni considerate "accettabili" si riscontrano comunque imprecisioni e carenze di vario tipo.
Si rendono necessarie alcune osservazioni:

• risolvere un problema utilizzando proprietà che "si vedono dalla figura", senza una adeguata giustificazione, e' tollerato per gli allievi delle elementare o medie inferiori, NON per quelli delle superiori!
• nel corso di una costruzione o di una dimostrazione è bene precisare le proprietà che vengono utilizzate anche se sono note a tutti come accade per le più comuni proprietà del quadrato;
• la "congruenza" è una relazione fra le figure, NON fra i perimetri;
• è bene usare i simboli matematici ("=", ">", "//", ...) solo nelle formule e non come simboli stenografici nei commenti e nelle giustificazioni.

Le scuole che hanno partecipato sono:

• SE "G.Galilei", 2°Circolo di Alessandria
• SM "Vochieri", Alessandria
• Scuola Media di Roveredo in Piano (PN )
• ITI "Cesaris", Casalpusterlengo (LO)
• IPSAAR "P. Artusi", Forlimpopoli (FO)
• LS "G.Galilei", Adria (RO)
• LS "G.Galilei", Bitonto (BA)
• LS "A. Bafile," L'Aquila
• LS "Sabin", Bologna
• LS "F. d'Assisi", Roma
• LS "Pitagora", Cosenza
• LS "Falcone", Asola (MN) .

Per il mese di ottobre sono state accettate le soluzioni delle seguenti scuole:

1. LS "F. d'Assisi" di Roma;
2. IPSSAR "P.Artusi" di Forlimpopoli; (pubblichiamo solo la seconda parte)
3. SM di Roveredo (CON ANIMAZIONI CABRIJAVA)
4. LS "G.Galilei" di Bitonto.

NOTA: Come consuetudine nelle soluzioni riportate, le correzioni o i commenti sono scritti fra parentesi quadre.

SOLUZIONE AL PROBLEMA DI OTTOBRE PROPOSTA DALLA CLASSE 2 B

Liceo Sc. “Francesco d’Assisi” ROMA

SECONDA PARTE DELLA SOLUZIONE INVIATA DA:

IPSSAR "P.Artusi" di Forlimpopoli;

SOLUZIONE INVIATA DA:

Classi II-A Scuola Media di Roveredo di Piano (PN).

COSTRUZIONE:
disponibili 2 animazioni CabriJava (vedi sotto)

1. circonferenza c di centro O;
2. retta r passante per O;
3. retta s perpendicolare ad r e passante per O;
4. intersezioni della circonferenza c con le rette r ed s (E, F, G, H);
5. poligono (quadrato) EFGH;
6. punto A sul lato EF (sovrapposto segmento EF per esigenze di animazione);
7. parallela t alla retta s [passante per A];
8. retta u simmetrica di t rispetto la retta s;
9. intersezioni delle rette u e t con il quadrato EFGH;
10. poligono (rettangolo) ABCD;
11. punto medio M del segmento EF;

• Animazione interattiva CabriJava
• Animazione automatica CabriJava

PUNTO DI ANIMAZIONE IN A SUL SEGM. EF.

RISPOSTE:

a) I rettangoli che si ottengono animando [o TRASCINANDO: l'animazione e' presente solo in Cabri II] A sul segmento EF sono ISOPERIMETRICI.
b) Il rettangolo di area massima si ottiene quando A coincide con M, cioè quando il rettangolo si fa quadrato.

2. L'area del quadrato EFGH è doppia dell'area del quadrato ABCD.

SOLUZIONE INVIATA DA:

Classi III-A Scuola Media di Roveredo di Piano (PN).

COSTRUZIONE PER OTTENERE RETTANGOLI ISOPERIMETRICI:
disponibili 2 animazioni CabriJava (vedi sotto)

1. due semirette (r, s) perpendicolari con la stessa origine in O;
2. segmento OF [su r];
3. segmenti OA' ed A'F [su r];
4. parallela ad s passante per A';
5. circonferenza con centro in A' passante per A'F,
6. punto A (intersezione della circonferenza con la parallela ad s [passante per...]); [ segmenti A'A ed AQ (utilizzando una perpendicolare ad s)]

• Animazione interattiva CabriJava
• Animazione automatica CabriJava

PUNTO DI ANIMAZIONE A' SUL SEGM. OF.

7. luogo del punto A animando A' (EF);
8. segmento EF e suo punto medio M. I rettangoli (OQAA') che si generano sono isoperimetrici essendo la somma dei lati , OA', AA' costante (=OF);

b)

1. L'area massima la si ottiene quando il rettangolo si fa quadrato (A coincide con il punto medio del segmento EF).

2. Quando A si trova in M il poligono OQAA' è quadrato ed i triangoli rettangoli (per costruzione) AA'F ed EQA sono isosceli con i cateti congruenti ai lati del quadrato.
La somma delle aree dei due triangoli equivale all'area del quadrato, quindi: Area OEF = 2 Area OQAA'.
Il ragionamento si trasferisce sulla prima costruzione (della 2A):
L'area del quadrato EFGH è doppia dell'area del quadrato ABCD
(A coincide con M).

SOLUZIONE INVIATA DA:

Seconde classi liceo scientifico "G. Galilei" Bitonto

Parte a)

Costruito [manca la descrizione] il quadrato ABCD e il rettangolo PQRS [con P su AB] in esso inscritto con i lati paralleli alle diagonali (vedi Galilei Bitonto parte a ottobre 99.fig allegata), si ha che:

PBU [i punti U,V,Z,T sono rispettivamente le intersezioni dei lati del rettangolo con le diagonali del quadrato] è un triangolo rettangolo isoscele, poiché in un quadrato le diagonali sono bisettrici degli angoli e sono perpendicolari fra loro e quindi PUB = 90° e PU = BU.
Analogamente APT è rettangolo isoscele e quindi PT = AT.
In un quadrato le diagonali sono assi di simmetria, pertanto anche BU = PU = QU = SZ = RZ, AT = PT = ST = QV = VR. Da ciò segue che il perimetro del rettangolo è congruente alla somma delle diagonali del quadrato, qualunquesia il rettangolo al variare di P su AB. Vale a dire che tutti i rettangoliinscritti sono isoperimetrici.

Parte b)

Nel quadrato ABCD viene inscritto ulteriormente il quadrato EFGH ( vedi Galilei bitonto parte b.fig) [con E su AB] . Il quadrato EFGH ha area maggiore di un qualsiasi rettangolo PQRS, infatti:
il rettangolo ILMN [i punti I, L, M, N sono rispettivamente le intersezioni dei lati del rettangolo con i lati del quadrato inscritto] è in comune ed EILF > LQRM, avendo altezze congruenti FL = LQ e [EF =] FG > QR (QR contenuto in FG). Quindi l'area di EFLI è maggiore di quella di LQRM e, per simmetria [LA SIMMETRIA DI ...], la tesi.
L'area del quadrato inscritto è 1/2 di quello assegnato, poiché EF = AC/2, essendo la congiungente i punti medi dei lati del triangolo ABC e quindi l'area di EFGH = EF^2 = (AC^2)/4, mentre l'area di ABCD = (AC^2)/2.

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